Смекни!
smekni.com

Статистический анализ и прогнозирование (стр. 7 из 9)

Исследование случайного компонента проводится с целью решения 2-х основных задач: оценки правильности выбора трендовой модели и оценки стационарности случайного процесса.

Критерий серий, основанный на медиане выборки

Критерий серий, основанный на медиане выборки
у утеор ε Критерий серий Критерий восх и нисх серий
1 6 -10494,92571 10500,92571 +
2 93 -5894,36571 5987,36571 + -
3 693 -1293,80571 1986,80571 + -
4 3554 3306,75429 247,24571 + -
5 7350 7907,31429 -557,31429 + -
6 9012 12507,87429 -3495,87429 - -
7 10751 17108,43429 -6357,43429 - -
8 11157,5 21708,99429 -10551,49429 - -
9 16838,5 26309,55429 -9471,05429 - +
10 21671,2 30910,11429 -9238,91429 - +
11 30485,2 35510,67429 -5025,47429 - +
12 39031,3 40111,23429 -1079,93429 - -
13 54365,1 44711,79429 9653,30571 + +
14 66714,2 49312,35429 17401,84571 + +
Kmax=7 < 12,0089
V=3 < 3,9666
отклонения уровней не случайны
Kmax=7 > 6,115
v=4 < 5
гипотеза о случайности подтверждается
Критерий min и max пиков и ям
As=0,585455914 δAs=0,553066319
Es=-0,575714598 δEs=0,901388454
As < 1,5 δAs = 0,829599478
Es-(6/(n+1))= -0,975714598 < 1,5 δEs=1,352082681
Уровни ряда являются нормально рапределенными
As ≥ 2 δAs, Es-(6(/n+1)) ≥ δEs
Данные являются нормальными, возможен анализ
1,802776908

3.6 Выбор уравнения тренда

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции. В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр

трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры
,
,
- изменения ускорения. В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны; полиномы 2-й степени – для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями); полиномы 3-й степени – с постоянными третьими разностями и т.д. Для полиномиальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики.

Линейная функция. Параметры линейного тренда можно интерпретировать так: а – начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0; b – средний за период абсолютный прирост уровней ряда. Применительно к данному временному ряду можно сказать, что средний за год абсолютный прирост равен 4600,56 рублей.

У=-15095,5+4600,56t

R^2=0,84



Параметры экспоненциального тренда имеют следующую интерпретацию. Параметр а – это начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0. Величина

– это средний за единицу времени коэффициент роста уровней ряда. Средний за год цепной темп прироста временного ряда составил 73,2%.

3.7 Экспоненциальное сглаживание

В настоящее время для учета степени «устаревания» данных во взвешенных скользящих средних используются веса, подчиняющиеся экспоненциальному закону, т.е. применяется метод экспоненциальных средних. Смысл экспоненциальных средних состоит в том, чтобы найти такие средние, в которых влияние прошлых наблюдений затухает по мере удаления от момента, для которого определяются средние. Веса в экспоненциальных средних устанавливаются в виде коэффициентов α (ΙαΙ < 1). Веса по времени убывают экспоненциально, а сумма весов стремится к 1. В качестве весов используется ряд:

;
;
;
и т.д.

Экспоненциальная средняя определяется по формуле Р. Брауна:

,

где

– экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда) на момент t; α – вес текущего наблюдения при расчете экспоненциальной средней;
–фактический уровень динамического ряда в момент времени t;
–экспоненциальная средняя предыдущего периода.

Как видно из формулы, сглаженный по экспоненциальной средней уровень динамического ряда есть не что иное, как линейная комбинация двух величин: фактического уровня динамического ряда на момент времени t, т.е.

, и среднего уровня (
), рассчитанного для предыдущего периода. Таким образом, экспоненциальная средняя (
) формируется под влиянием всех предшествующих уровней ряда от его начала до момента t включительно.

Вес, с которым участвует каждый уровень динамического ряда в определении экспоненциальных средних, зависит от параметра сглаживания

. Поэтому при использовании экспоненциальных средних в прогнозировании одной из важных проблем является выбор оптимального значения параметра
.

Если коэффициент

близок к 0, то веса, по которым взвешиваются уровни динамического ряда, убывают медленно, и при прогнозе в этом случае учитываются все прошлые наблюдения. Если
близок к 1, то при прогнозировании учитываются в основном наблюдения последних лет, чем ближе
к 1, тем в большей мере сглаженные уровни воспроизводят фактические уровни динамического ряда.

Экспоненциальное сглаживание при разных значениях параметра

Года у Экспоненциальные средние при α
α=0,1 α=0,3 α=0,5 α=0,7 α=0,9
1991 6 6 6 6 6 6
1992 93 14,7 32,1 49,5 66,9 84,3
1993 693 82,53 230,37 371,25 505,17 632,13
1994 3554 429,677 1227,459 1962,625 2639,351 3261,813
1995 7350 1121,709 3064,221 4656,313 5936,805 6941,181
1996 9012 1910,738 4848,555 6834,156 8089,442 8804,918
1997 10751 2794,765 6619,288 8792,578 9952,532 10556,39
1998 11157,5 3631,038 7980,752 9975,039 10796,01 11097,39
1999 16838,5 4951,784 10638,08 13406,77 15025,75 16264,39
2000 21671,2 6623,726 13948,01 17538,98 19677,57 21130,52
2001 30485,2 9009,873 18909,17 24012,09 27242,91 29549,73
2002 39031,3 12012,02 24945,81 31521,7 35494,78 38083,14
2003 54365,1 16247,32 33771,6 42943,4 48704 52736,9
2004 66714,2 21294,01 43654,38 54828,8 61311,14 65316,47

Как видим, уже при

=0,9 экспоненциальные средние практически воспроизводят сам динамический ряд и не характеризует тренд. Выбор константы сглаживания
достаточно произволен. Обычно используются значения
в диапазоне от 0,1 до 0,5. При краткосрочных прогнозах чаще используется указанный диапазон значений
: при повышении
увеличивается вес последних наблюдений. А для сглаживания случайных колебаний
уменьшается. При увеличении срока прогноза более поздняя информация должна иметь несколько меньший вес, т.е. величина
уменьшается.