Оптимізація портфелю цінних паперів (з урахуванням ризиків) (стр. 3 из 5)

Модель Шарпа застосовується в основному при розгляді великої кількості цінних паперів, що описують велику частину фондового ринку. Основний недолік моделі – необхідність прогнозувати доходність фондового ринку та безризикову ставку доходності. Не враховується ризик коливань безризикової доходності. Крім того, при значній зміні співвідношення між безризиковою доходністю та доходністю фондового ринку модель дає похибки.

Основні припущення моделі Шарпа:

як доходність цінного папера береться математичне очікування доходності;

існує деяка безризикова ставка доходності Rf, тобто доходність якогось цінного папера, ризик якого завжди мінімальний у порівнянні з іншими цінними паперами;

взаємозв'язок відхилень доходності цінного папера від безризикової ставки доходності (далі відхилення доходності цінного папера) з відхиленням доходності ринку в цілому від безризиковоі ставки доходності (далі: відхилення доходності ринку) описується функцією лінійної регресії;

під ризиком цінного папера слід розуміти ступінь залежності змін доходності цінного папера від змін доходності ринку в цілому;

вважається, що дані минулих періодів, які використовуються при розрахунку доходності та ризику, відображають повною мірою майбутні значення доходності.

За моделлю Шарпа відхилення доходності цінного папера пов'язуються з відхиленнями доходності ринку функцією лінійної регресії виду:

(ri — Rf) = a + b(Rm — Rf) (1.8)

де (r_i — R_f) — відхилення доходності цінного папера від безризикового;

(R_m — R_f) — відхилення доходності ринку від безризикового;

a, b — коефіцієнти регресії.

Виходячи з формули (1.8), можна по прогнозованій доходності ринку цінних паперів у цілому розрахувати доходність будь-якого цінного папера, що його складає:

Ri = Rf + ai + bi(Rm — Rf) (1.9)

Де a_i, b_i — коефіцієнти регресії, що характеризують даний цінний папір.

Коефіцієнт b називають b-ризиком, оскільки він характеризує ступінь залежності відхилень доходності цінного папера від відхилень доходності ринку в цілому. Основні переваги моделі Шарпа — математично обгрунтована взаємозалежність доходності та ризику: чим більший b-ризик, тим вища доходність цінного папера.

Крім того, модель Шарпа має особливість: існує небезпека, що оцінюване відхилення доходності цінного папера не належатиме побудованій лінії регресії. Цей ризик називають залишковим ризиком. Залишковий ризик характеризує ступінь розбросу значень відхилень доходності цінного папера навколо лінії регресії. Залишковий ризик визначають як середньоквадратичну відстань від точок доходності цінного папера до лінії регресії. Залишковий ризик і-го цінного папера позначають s_ei.

За моделлю Шарпа доходність портфеля цінних паперів — це середньозважена доходність цінних паперів, що його складають, з урахуванням b-ризику цінних паперів. Доходність портфеля визначається за формулою:

(1.10)

Де R_f — безризикова доходністъ;

R_m — очікувана доходність ринку в цілому.

Ризик портфеля цінних паперів може бути знайдений за допомогою оцінки середнього квадратичного відхиления функціі (1.10), і визначається за формулою:

(1.11)

де s_m — середньоквадратичне відхилення доходності ринку в цілому, тобто ризикованість ринку в цілому;

b_i, s_ei — b-ризик і залишковий ризик і-го цінного папера.

При використанні моделі Шарпа для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляду:

(1.12)

Зворотня задача виглядає аналогічним чином:

(1.13)

Основний недолік моделі — необхідність прогнозувати доходність фондового ринку та безризикову ставку доходності. Модель не враховуе ризик коливань безризикової доходності. Крім того, при значній зміні співвідношення між безризиковою доходністю та доходністю фондового ринку модель дає похибки.

Таким чином, модель Шарпа може застосовуватися при розгляді великої кількості цінних паперів, що описують велику частку відносно стабільного фондового ринку.

1.2.3 Модель Квазі-Шарпа

Модель Марковіца та Шарпа були створені та успішно працюють в умовах західних фондових ринків, яким притаманні стабільність і порівняна прогнозованість. У країнах з перехідною економікою фондові ринки перебуваютъ на етапі становления і розвитку. Відбувається постійна реорганізація. Фондовий ринок України не є винятком. У таких умовах застосування моделей Марковіца і Шарпа приводить до похибок, пов'язаних із нестабільністю котирування цінних паперів та фондового ринку в цілому.

З огляду на це було зроблено спробу розробити нову модель розрахунку характеристик фондового портфеля, яка може ефективно працювати в умовах сучасного фондового ринку України.

Модель Квазі-Шарп грунтується на взаємозв'язку доходності кожного цінного папера з деякого набору N цінних паперів з доходністю одиничного портфеля з цих паперів.

Модель Квазі-Шарп раціонально застосовувати при розгляді порівняно невеликої кількості цінних паперів, що належать до однієї чи кількох галузей. З допомогою її добре підтримувати оптимальну структуру вже існуючого портфеля. Основний недолік моделі – розглядається окремий сегмент фондового ринку, на якому працює агент фондового ринку, без урахування глобальних тенденцій [6].

Основні припущення моделі Квазі-Шарп полягають у наступному:

за характеристику доходності цінного папера береться математичне очікування доходності;

під одиничним портфелем цінних паперів слід розуміти портфель, що складається з усіх цінних паперів, що розглядаються, взятих у рівній пропорції;

взаємозв'язок доходності цінного папера і доходності одиничного портфелю описується лінійною функцією

під ризиком цінного папера слід розуміти ступінь залежності змін доходності цінного папера від змін доходності одиничного портфеля;

вважається, що дані минулих періодів, використані при розрахунку доходності та ризику, відображають повною мірою майбутнє значення доходності.

Як і в моделі Шарпа, в моделі Квазі-Шарп існує ризик того, що поцінована доходність цінного папера не належатиме вибудованій лінії регресії. Цей ризик називається залишковим ризиком. Залишковий ризик характеризує ступінь розбросу значень доходності цінного папера навколо лінії регресії. Залишковий ризик і-го цінного папера позначають b_ei.

Загальний ризик вкладень у даний цінний папір складається з b-ризику, тобто ризику зниження доходності при падінні доходності одиничного портфеля, і залишкового ризику b_ei, тобто ризику зниження доходності при падінні доходності одиничного портфеля і залишкового ризику b_ei, тобто ризику зниження доходності і невідповідності лініі регресії.

За моделлю Квазі-Шарп доходність портфеля цінних паперів — це середньозважена доходностей цінних паперів, що його складають:

(1.14)

де R_sp — очікувана доходність одиничного портфеля.

Ризик портфеля цінних паперів внзначається за формулою:

(1.15)

де s_sp — ризикованість одиничного портфеля.

З використанням моделі Квазі-Шарп для розрахунку характеристик портфеля пряма задача набуває вигляду:

(1.16)

Відповідно, зворотня задача має наступне кінцеве зображення:

(1.17)

Модель Квазі-Шарп раціонально застосовувати при розгляді порівняно невеликої кількості цінних паперів, що належать одній або кільком галузям. З допомогою її добре підтримувати оптимальну структуру вже існуючого портфеля. Основний недолік моделі — розглядається окремий сегмент фондового ринку, без урахування глобальних тенденцій.

З огляду на розглянуті моделі, в даній роботі буде розглянуто приклад реалізації саме цієї моделі Квазі-Шарп, оскільки вона має найбільше відповідати наявному стану української економіки та рівню розвитку фондового ринку. Також зазвичай вона може бути використана типовим учасником нашого фондового ринку при вирішенні задачі оптимізації вже існуючого портфелю цінних паперів декількох емітентів.

2. МОДЕЛІ ОПТИМІЗАЦІЇ ПОРТФЕЛЯ ЦІННИХ ПАПЕРІВ

2.1 Побудова моделі Квазі-Шарпа

Модель Квазі-Шарпа відноситься до оптимізаційних моделей і тому для неї характерні певні особливості, які притаманні всім моделям, які відносяться до «портфельної теорії». Розглянемо загальні засади цієї моделі.

Нехай доходність портфелю з N цінних паперів R_p та його ризикованість s_p визначається функціями:

Rp = RETURN (Wi, si, ri; i = 1K N); (2.1)

sp = RISK (WI, si, ri; i = 1K N), (2.2)

де W_i — процентна частка цінних паперів портфеля;

s_i — деяка характеристика ризику даного цінного паперу, звичайно це середнє квадратичне відхилення доходності цінних паперів;

r_i — доходність цінних паперів.

При розв'язуванні задачі необхідно урахувати наступні натуральні обмеження:

сума усіх акцій (у відсотках) складає 100%:

W1+W2+K+Wi+K+Wn = 1 (2.3)

кількість акцій не може бути від'ємною (W_I = 0)

Розв'язуванням задачі є певна цільова структура портфеля, представлена набором значень (W₁, W₂,..., W_N). Ідеальна постановка задачі оптимізації портфеля — отримати максимальну доходність при мінімальному ризику: