Математические методы планирования экспериментов (стр. 2 из 4)
Рисунок 3 – Планы второго порядка при
: а – ортогональный;б – рототабельный
Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при
ПФЭ 
, а при 
- дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо:1) добавить (2 – k) звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства
где 
- звездное плечо, или расстояние до звездной точки;2) провести
опытов при значениях факторов в центре плана.При kфакторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит:
(8)При этом величина звездного плеча
и число опытов в центре плана зависит от выбранного вида композиционного плана.Композиционный план для
и 
представлен в таблице 1.Таблица 1 – Композиционный план второго порядка
| Номер опыта | Факторы | Результат | ||||||
  |  |  |  |  |  |  | ||
| Ядроплана | 12345 | +1+1+1+1+1 | - 1+1- 1+1  | - 1- 1+1+10 | +1- 1- 1+10 | +1+1+1+1  | +1+1+1+10 |      |
| Звездные точки | 678 | +1+1+1 |  00 | 0 | 000 | 00 | 0 |    |
| Центр плана | 9 | +1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |  |
Аналогичным образом строятся планы и для большего числа факторов [1].
2.2 Ортогональные центральные композиционные планы второго порядка
В общем виде план, представленный в таблице 1, неортогонален так как
(9)Приведем его к ортогональному виду, для чего введем новые переменные (преобразования для квадратичных эффектов):
(10)при этом
(11)Тогда уравнение регрессии будет записано как
(12)Композиционные планы легко привести к ортогональным, выбирая звездное плечо
. В таблице 2 приведено значение а для различного числа факторов k и числа опытов в центре плана .Таблица 2 – Значения звездных плеч в ортогональных планах второго порядка
| Число опытов в центре плана | Звездное плечо при различном числе факторов k | |||
| |  |  |  (в ядре полуреплики) | |
| 1 | 1,000 | 1,215 | 1,414 | 1,546 |
| 2 | 1,077 | 1,285 | 1,471 | 1,606 |
| 3 | 1,148 | 1,353 | 1,546 | 1,664 |
| 4 | 1,214 | 1,414 | 1,606 | 1,718 |
| 5 | 1,267 | 1,471 | 1,664 | 1,772 |
| 6 | 1,320 | 1,525 | 1,718 | 1,819 |
| 7 | 1,369 | 1,575 | 1,772 | 1,868 |
| 8 | 1,414 | 1,623 | 1,819 | 1,913 |
| 9 | 1,454 | 1,668 | 1,868 | 1,957 |
| 10 | 1,498 | 1,711 | 1,913 | 2,000 |
В частности, ортогональный план второго порядка для
и 
представлен в таблице 3, а его геометрическая интерпретация - на рисунке 3, а.Представленный на рисунке 3, а и в таблице 3 прямоугольный (квадратный) план эксперимента для модели второго порядка работоспособен, хотя и несколько избыточен (9 опытов для определения 6 коэффициентов). Благодаря трем избыточным опытам, он позволяет усреднить случайные погрешности и оценить их характер.
Таблица 3 – Ортогональный центральный композиционный план второго порядка
| Номер опыта | Факторы | Результат | ||||||
| | | | |  |  | | ||
| Ядроплана | 1234 | +1+1+1+1 | - 1+1- 1+1 | - 1- 1+1+1 | +1- 1- 1+1 | +1/3+1/3+1/3+1/3 | +1/3+1/3+1/3+1/3 | |
| Звездные точки | 5678 | +1+1+1+1 |   00 | 00  | 0000 | +1/3+1/3- 2/3- 2/3 | - 2/3- 2/3+1/3+1/3 | |
| Центр плана | 9 | +1 | 0 | 0 | 0 | - 2/3 | - 2/3 | |
В этой таблице