Применение экономико-математических методов для решения экономических задач (стр. 4 из 5)

Критерий оптимальности выполнен и задача решена если все коэффициенты индексной строки

. Если хотя бы один коэффициент индексной строки < 0, то решение не оптимально, его можно улучшить построением другого решения.

Для построения нового решения требуется:

1. среди < 0 коэффициентов индексной строки выбрать наибольшее по абсолютной величине. Столбец в котором находится выбранный коэффициент – разрешающий.

2. для всех элементов разрешающего столбца имеющих одинаковые знаки со значением

находятся разрешающие коэффициенты

3. среди всех разрешающих коэффициентов выбирают наименьший, ему соответствует разрешающая строка и переменная выводимая из базиса.

4. на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент

5. происходит пересчет симплексной таблицы

· меняется одна базисная переменная

· находятся элементы разрешающей строки

· коэффициенты системных ограничений при базисных переменных образуют единичную матрицу

· все остальные клетки симплексной таблицы, включая индексную строку, находятся по правилу прямоугольника

Каждому новому решению задачи соответствует один итерационный процесс и одна симплексная таблица.

3.Исследование задач выбора производственного решения

При образовании предприятия основным вопросом является, что производить. Определившись с примерным направлением производства и ассортиментом необходимо просчитать, основываясь на статистики или на данных работающих в данной отрасли предприятий, наиболее рентабельный вид продукта используя теорию игр.

Предприятию, производящему изделия из водоотталкивающих тканей, необходимо принять решение о производстве зонтов, плащей, туристических палаток и сумок в зависимости от того, будет ли погода умеренной или дождливой. Доходы от реализации при каждом из состояний погоды, в млн. у.е. составили:

Таблица 3.1.

дождливая	умеренная
зонты	1,05	0,96
плащи	1,3	1,02
палатки	0,8	0,9
сумки	1	1,2

Необходимо принять решение о вложении денежных средств в производство той продукции, которая обеспечит наибольшую возможную прибыль.

Поиск решения с помощью минимаксного критерия.

Составляется платежная матрица:

Таблица 3.2.

F1	F2
Е1	1,05	0,96	0,96
Е2	1,3	1,02	1,02
Е3	0,8	0,9	0,8
Е4	1	1,2	1
	1,3	1,2

Получаем что нижняя чистая цена игры

= max = 1.02,

а верхняя чистая цена игры

= min = 1.2

Таким образом получаем, что α ≠ β следовательно седловая точка отсутствует. Согласно ММ-критерию следует проводить полную проверку, т.к. упростить платежную матрицу нельзя, потому что нет доминируемых стратегий. Вообще, в играх с природой нельзя отбрасывать те или иные состояния природы, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо, выгодно оно предприятию или нет.

Критерий Байеса – Лапласа.

В нашей задаче

. Средние выигрыши помещены в столбце .

Таблица 3.3.

F1	F2
Е1	1,05	0,96	1,005
Е2	1,3	1,02	1,16
Е3	0,8	0,9	0,85
Е4	1	1,2	1,1

Оптимальной по Байесу-Лапласу является чистая стратегия Е2. В интересах объективности можно найти средние значения

вероятностей, определенных квалифицированными экспертами для каждого состояния на основе их субъективного опыта.

Т.о. критерий Байеса-Лапласа более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.

Критерий Сэвиджа.

В играх с природой нельзя что либо предсказать, т.к. она может реализовать любое состояние.

Перейдем к матрице рисков, она позволяет понять преимущество одной стратегии перед другой.

Таблица 3.4.

F1	F2
Е1	0,25	0,24	0,25
Е2	0	0,18	0,18
Е3	0,5	0,4	0,5
Е4	0,3	0	0,3

.

Выбираем стратегию Е2, с минимальной величиной риска.

Из показаний критериев видно, что наиболее прибыльным для предприятия будет производство зонтов, при любых погодных условиях.

Не менее важной и сложной задачей предприятия является определение необходимого объема выпускаемой продукции, особенно если наименований несколько. В подобных случаях используют симплексный метод.

Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.

Таблица 3.5.

Сырье	Затраты сырья на единицу продукции			Запас сырья
	А1	А2	А3
I	3,5	7	4,2	1400
II	4	5	8	2000
Прибыль от ед.прод.	1	3	3

Необходимо определить сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли.

Составим математическую модель задачи. Пусть x1, х2, х3 соответственно – количество единиц продукции А1, А2, А3, которую производит предприятие. По смыслу задачи эти переменные неотрицательны.

Тогда f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 – совокупная прибыль от продажи произведенной продукции, которую требуется максимизировать.

Подсчитаем затраты сырья:

Сырье 1-го типа: 3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3, по условию затраты не превосходят 1400,

Сырье 2-го типа: 4 х1 + 5 х2 + 8 х3, по условию затраты не превосходят 2000.

Пришли к задаче линейного программирования:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

Преобразуем первое ограничение:

3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400, (поделим на 7)

0,5 х1 + 1 х2 + 0,6 х3 ≤ 200, (умножим на 10)

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000.

Получили задачу:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

Решим данную задачу симплекс-методом. Введем дополнительные переменные х4, х5 для приведения задачи к каноническому виду:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 + х4 = 2000,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 + х5 = 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0.

В качестве опорного плана выберем Х=(0, 0, 0, 2000, 2000). Составим симплекс-таблицу:

Таблица 3.6.

Базис	План	х1	х2	х3	х4	х5	δ ij
х4	2000	5	10	6	1	0	200
х5	2000	4	5	8	0	1	400
f	0	-1	-3	-3	0	0

В последней оценочной строке есть отрицательные оценки, поэтому нужно делать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наименьшей оценкой, а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца (отношения записаны в последнем столбце). Результат шага запишем в таблицу (разрешающий элемент будем выделять жирным). Аналогично будем повторять шаги, пока не придем к таблице с неотрицательными оценками.

Таблица 3.7.

Базис	План	х1	х2	х3	х4	х5	δ ij
х2	200	1/2	1	3/5	1/10	0	1000/3
х5	1000	3/2	0	5	-1/2	1	1000/5
f	600	1/2	0	-6/5	3/10	0

Таблица 3.8.

Базис	План	х1	х2	х3	х4	х5	δ ij
х4	80	8/25	1	0	4/25	-3/25	200
х3	200	3/10	0	1	-1/10	1/5	400
f	840	43/50	0	0	9/50	6/25

В последнем плане строка f не содержит отрицательных значений, план x1 = 0, x2 = 80, x3 = 200оптимален, целевая функция принимает максимальное значение 840(совокупная прибыль).

Дадим экономическую интерпретацию оптимального плана. Согласно этому плану необходимо произвести 0 единиц продукции типа А1, 80 единиц продукции типа А2, 200 единиц продукции типа А3.