Задачи на отношения Ханты-Мансийск Новосибирск (стр. 3 из 3)
Пример 9. В трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. На боковых сторонах AB и CD поставлены точки K и L соответственно так, что
. Найти отношение площадей AKLD и KBCL.Решение. Обозначим площадь треугольника ABC через P. Так как высоты треугольников ABC и ADC равны и
, то 
, и площадь трапеции равна 4P. Далее, треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и равные высоты,  Рис. 13 |
поэтому
. Так как 
, то 
. Аналогично, 
. Следовательно, 
.Так как
, то 
. Поэтому 
. После этого получаем 
и 
.В качестве еще одного примера на применение рассмотренных свойств разберем одну известную олимпиадную задачу.
Пример 10. На продолжениях сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD соответственно строятся точки M, N, K, L так, что
, 
, 
, 
. Доказать, что площадь четырехугольника MNKL в пять раз больше площади четырехугольника ABCD.Решение. Сделаем чертеж (рис. 14) и постараемся понять, какие связанные с чертежом задачи мы умеем решать.
 Рис. 14 |
И такие задачи находятся. Например, если знать площадь треугольника ABC, то мы можем сначала найти площадь треугольника BMC, а затем и площадь треугольника BMN. Когда это удалось отыскать, то дальнейшее уже не так сложно и приводит к следующему решению.
, аналогично 
, 
, 
, откуда 
.