С. Н. Березинская, О. В. Сорокина, Е. И. Кугушев (стр. 5 из 7)
Доказательство. Рассматривая
, 
и 
как гладкие функции от независимых переменных 
, 
, 
, 
выпишем несколько соотношений между дифференциальными формами. Дифференцируя левую часть определения функции Рауса получаем 
(4.4)Дифференцируя правую часть получаем
(4.5)Возьмем любую точку
на траектории движения, тогда выполнены (4.2) и, следовательно, 
Поэтому (4.5) в этой точке выглядит следующим образом
(4.6)Формы (4.4) и (4.6) совпадают во всех точках траектории движения, поэтому в них
, 
, 
, 
Подставляя эти соотношения в (4.1) получаем (4.3).
5. Система с условными связями.
Рассмотрим пример механической системы с условными связями. Пусть по гладкой плоскости скользит однородный диск единичной массы и радиуса
. Введем на плоскости декартову систему координат 
. Положение диска можно описать тремя параметрами 
, где 
– координаты центра диска, а 
– угол его поворота. Движение диска ограничено полуплоскостью 
. При выходе на границу, т.е. на прямую 
, обод диска касается прямой 
. Предположим, что контакт диска с этой прямой является абсолютно шероховатым. Это означает, что, как бы ни были слабы силы, прижимающие диск к граничной прямой, диск катается по ней без проскальзывания. Такое свойство можно записать в виде двух условий: 
и
, при 
Обозначим
– центральный момент инерции диска. Для использования теоремы Рауса, перейдем к координатам 
, где 
. Тогда связи и лагранжиан системы приобретут следующий вид: , и 
, при условии, что ,и
Координата
является циклической и отделяющейся. Циклический интеграл имеет вид 
Исключив методом Рауса циклическую переменную получим систему с теми же связями и Лагранжианом
Уравнения движения
, 
после нормировки меры
станут следующими: 
, Меры
и 
сосредоточены в точках выхода на ограничения.Рассмотрим абсолютно упругий однократный удар, т.е. удар, при котором сохраняется энергия системы. Символами
и 
будем обозначать значения величин до и после удара соответственно. Поскольку у системы две степени свободы и две неудерживающих связи, то скорости после удара 
и 
восстанавливаются неоднозначно. Если обозначить 
– энергию системы, то 
Видно, что здесь в принципе возможно даже возникновение ситуации, описанной в [2], при которой диск будет отскакивать в сторону противоположную первоначальному горизонтальному движению.
Для однозначности решения требуется какая-либо модель удара, из которой можно получить дополнительные условия. Одна из возможностей – это задание степени “шероховатости” прямой, о которую ударяется диск. Скорость
характеризует величину отклонения значений 
и 
от таких, при которых диск катится по горизонтальной прямой без проскальзывания (т.е. от 
). Для абсолютно гладкого случая положим 
, а для абсолютно шероховатого 
. В линейном приближении этот закон можно задать следующим образом: 
где
, 
– степень шероховатости. Тогда 
Заметим в заключение, что в данной системе ситуация принципиально не меняется если наложить какое-либо вертикальное силовое поле с потенциалом
. Рассмотрим теперь пример системы с неголономными односторонними связями. По гладкой плоскости опять движется диск радиуса
. Он снабжен “односторонним коньком”, который накладывает на движение диска одностороннюю неголономную связь 
Лагранжиан этой системы имеет вид
Координата
здесь циклическая но не отделяющаяся. Уравнения движения имеют вид 
, 
, 
В моменты, когда
, могут происходить удары о неголономную связь. Посмотрим, как изменятся скорости после удара. Удар считаем абсолютно упругим. Из уравнений движения получаем условия скачка 
, 
Величину
находим из равенства энергий до и после удара 
откуда
. Значит, составляющая функции скачков в 
отсутствует и 
, где 
– измеримая функция. Уравнения движения приобретают вид