Методические указания по самостоятельной работе студентов Киров (стр. 4 из 4)

Предположим теперь, что относительно производной

многочлена известны интервалы ее знакопостоянства, т.е. такие точки , что на участках функция знак не меняет, а проходя через каждую из точек меняет знак. Нетрудно обосновать в этой ситуации следующие выводы: 1) если внутри интервала (-R,R) точек нет вообще и , то корней (напоминаем: вещественных!) у уравнения нет; если , то корень в интервале есть и его надо уточнить с заданной точностью; 2) если в интервале (-R,R) точки оказались, то надо просчитать в этих точках и в точках ; если среди этих значений нуля нет и все они имеют один и тот же знак, то корней (напоминаем: вещественных!) уравнение не имеет; если же среди этих значений будут числа с разными знаками, то это позволит выделить все участки, на концах которых имеет разные знаки, а внутри которых знак не меняет. К каждому такому участку применима процедура уточнения корня (деление отрезка пополам, методы хорд и касательных).

И еще одно замечание. Если вещественные корни (все) уравнения

известны, то по ним полностью восстанавливаются участки знакопостоянства функции : надо просчитать между любыми двумя соседними корнями и по совокупности знаков полученных чисел сделать вывод.

Процедуру выяснения участков знакопостоянства производной

можно организовать так. Вычислим производные многочлена : ; заметим, что производная - линейная функция. Поэтому участки ее знакопостоянства вычислимы. Если , то уже возможны формальные действия по описанной выше схеме по уточнению корней исходного уравнения. Если же , то решим по описанной выше схеме уравнение и по его корням установим участки знакопостоянства функции ; затем решим по описанной выше схеме уравнение и по его корням определим участки знакопостоянства функции и так далее, пока не окажется решенным исходное уравнение .

Полученная в процессе решения информация позволяет установить также и кратность каждого корня уравнения

; напомним, что корень

уравнения считается имеющим кратность , если , но . В этом случае, как известно из алгебры, имеет место представление , где - многочлен степени .

Основная литература

1. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. – М. – СПб.: Физматлит, 2008.

2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2009.

3. Поршнев С.В. Вычислительная математика. – СПб.: БХВ - Петербург, 2004.

Дополнительная литература

1. Бакушинский А.Б., Власов В.К. Элементы высшей математики и численных методов. – М.: Просвещение, 1968

2. Бутузов и др. Математический анализ в вопросах и задачах: Уч. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2007.

3. Гусак А.А., Гусак Г.М. Справочник по высшей математике. - Минск, 2009.

4. Колесников А.И. Краткий курс математики для экономистов. - М.: ИНФА-М, 20009.

5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 2004.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука 1999.

Ковязина Елена Михайловна

Вычислительная математика

Методические указания

Ответственный за выпуск: Глушкова А.И.

Технический редактор: Кочуров М.Г.

Корректор: Журавлева О.Н.

Издательский орган ВСЭИ

610000 Киров, Большевиков, 91А

тел./факс 67-02-35

Подписано в печать «____» ____________ 20__ г.

Тираж ____ экз.

Отпечатано на ризографе ВСЭИ