Тема 6: рекурсивные частотные фильтры (стр. 3 из 4)
3. Порядок фильтра по формуле (6.2.8): N = 4.483.
Для расчетов принимаем N=4.
4. Частота среза фильтра по формуле (6.2.9):
wdc = 6.549·103 рад (1042 Гц),
5. Строим график функции H(w) =
, w = ω/ωdc, (рис.6.2.1).6. Полюса pn фильтра полностью повторяют полюса ФНЧ (рис. 6.1.2), а, соответственно, повторяются и значения коэффициентов am.
7. g = 0.611, G1 = 0.543, G2 = 0.4, b1 = - 0.681, b2 = - 0.501, c1 = 0.492, c2 = 0.098.
 Рис. 6.2.2. |
При сравнении коэффициентов bm, cm и коэффициентов в числителе передаточных функций ФВЧ с соответствующими коэффициентами ФНЧ предыдущего примера можно заметить, что в данном фильтре относительно ФНЧ произошла только смена знаков коэффициентов при нечетных степенях z. Это объясняется тем, что заданные в данном примере параметры ФВЧ по частоте соответствуют частотному реверсу ФНЧ: w' = p-w, что приводит к частотному реверсу передаточной функции низкочастотного фильтра и превращению его в высокочастотный фильтр. Этот способ обращения ФНЧ также может использоваться для расчетов ФВЧ.
8. Импульсная реакция фильтра, вычисленная по (6.2.10) при подаче на вход фильтра импульса Кронекера приведена на рис. 6.2.2.
6.3. Полосовой фильтр Баттеруорта /12/.
Как известно, полосовой фильтр можно получить непосредственной комбинацией низкочастотного и высокочастотного фильтра при перекрытии полосы пропускания фильтров. Аналогичный эффект достигается и частотным преобразованием ФНЧ, которое в этом случае имеет вид:
p = s+1/s. (6.3.1)
Подставив в (6.3.1) значения p = jW и s = jw, получим:
W = [w2-1]/w,
w2-Ww-1 = 0. (6.3.2)
Корни уравнения (6.3.2):
(w)1,2 = W/2
. (6.3.3)Расщепление спектра. При W=0 имеем w =
1, т.е. центр полосы пропускания ФНЧ (от -Wс до +Wс) расщепляется на два (как и положено, для полосовых фильтров) и смещается в точки w = 
1. Подставив в (6.3.3) граничную частоту Wс=1 нормированного ФНЧ, определяем граничные частоты нормированного полосового фильтра в виде пары сопряженных частот:w1 =
0.618, w2 = 1.618  Рис. 6.3.1. Расщепление полосы. |
Сущность произведенного преобразования наглядно видна на рис. 6.3.1. Ширина полосы пропускания нормированного ПФ равна 1.
Полученное преобразование можно распространить на полосовой фильтр с ненормированными частотами wн и wв.
Введем понятие геометрической средней частоты фильтра wо:
wо=
. (6.3.4)Ширина полосы пропускания ПФ связана (см. рис.6.3.1) с граничной частотой ФНЧ соотношением:
Dw = wв-wн = wс = wн.
В долях средней геометрической частоты:
Wн = (wв-wн)/wо = Wс. (6.3.5)
Заменяя в (6.3.4-6.3.5) значение wв на произвольную частоту w и подставляя в (6.3.5) значение ωн = ω·ωо2 из (6.3.4), получаем произвольную частоту W:
W = (w-wн)/wо = w/wo-wo/w. (6.3.6)
Отсюда, в выражении (6.1.1) вместо нормированной частоты W = w/wс можно применить функцию частоты полосового фильтра w(w):
w(w) = (w2-wо2)/[w(wв-wн)],
или, подставляя (6.3.4) вместо ωо:
w(w) = (w2-wнwв)/[w(wв-wн)]. (6.3.7)
Тем самым передаточная функция ФНЧ выражается в единицах, которые позволяют после применения преобразования (6.3.1) использовать для задания необходимые граничные частоты wн и wв полосового фильтра.
Пример расчета полосового фильтра Баттеруорта.
Техническое задание:
- Шаг дискретизации данных Dt = 0.0005 сек.
Частота Найквиста fN = 1/2Dt = 1000 Гц, ωN = 6.283·103 рад.
- Нижняя граничная частота полосы пропускания: fн = 340 Гц, wн = 2.136·103 рад.
- Верхняя граничная частота полосы пропускания: fв = 470 Гц, wв = 2.953·103 рад.
- Крутизна срезов в децибелах на октаву: Кр = 45.
Расчет параметров:
 Рис. 6.3.2. |
1. Порядок фильтра по формуле (6.1.6'):
N = Кр/6 = 45/6 = 7.5.
Для расчетов принимаем N=8.
2. Строим график функции H(w) =
с использованием выражения (6.3.7). Передаточная характеристика фильтра приведена на рис. 6.3.2.3. Деформированные частоты по формуле (6.1.4):
wdн = 2.366·103 рад. wdв = 3.64·103 рад. wdo = 2.934·103.
Полосовой фильтр на s-плоскости. С учетом деформации частот, принимаем p = jw = j(w2-wdнwdв)/[w(wdв-wdн)], s= jω и заменяем ω = s/j в выражении р:
р = (s2+wdнwdв)/[s(wdв-wdн)],
s2-p(wdв-wdн)s+wdнwdв = 0. (6.3.8)
Koрни уравнения (6.3.8) определяют местоположение полюсов ПФ:
s = s* = p(wdв-wdн)/2
. (6.3.9)Уравнение (6.3.9) показывает расщепление каждого p-полюса, определяемых выражением (6.1.14), на два комплексно сопряженных полюса s-плоскости, произведение которых будет давать вещественные биквадратные блоки в s-плоскости. При этом следует учесть то обстоятельство, что устойчивому рекурсивному фильтру на z-плоскости должны соответствовать полюса только одной (левой) половины p,s - плоскостей.
Передаточная функция. При применении преобразования (6.3.1) к передаточной функции в полиномиальной форме (6.1.11), получаем:
H(p) = G
1/(p-pm) - G s/(s2-pm s+1) = H(s), (6.3.10)Выражение (6.3.10) не требует нахождения полюсов, т.к. они уже известны и определяются выражением (6.3.9). С учетом этого функция H(s) может быть записана с объединением в биквадратные блоки комплексно сопряженных полюсов с вещественными коэффициентами:
H(s) = G
s/[(s-sm)(s-s*m)] = G s/(s2+am s+gm), (6.3.11)где значения аm и gm могут быть определены непосредственно по полюсам (6.3.9):
am = -2 Re sm, gm = (Re sm)2 + (Im sm)2 = |sm|2. (6.3.12)
Продолжение расчета фильтра Баттеруорта.
  Рис. 6.3.3. Рис. 6.3.4. |
4. Полюса фильтра на единичной окружности
в р-плоскости:
pn = j·exp[j·p(2n-1)/2N], n = 1,2,…,N.
Положение полюсов приведено на рис. 6.3.3.
5. Полюса в левой половине s-плоскости, n = 1,2,…,2N
(приведены на рис. 6.3.4):
.6. По полученным значениям полюсов вычисляем коэффициенты am и gm (6.3.12), m = n.
am = 196.8, 300.4, 581.2, 834.5, 930.5, 1188, 1196, 1304.
gm = 5.64·106, 1.314·107, 5.997·106, 1.236·107, 6.742·106, 1.1·107, 7.895·106, 9.39·106.
По приведенному примеру можно заметить, что при использовании ненормированных частот w, достаточно существенных по своей величине, значения s-полюсов и, соответственно, величины коэффициентов аm и gm имеют большие порядки, что нежелательно для дальнейших расчетов и может приводить к появлению погрешностей при ограничении разрядности. Для исключения этого фактора значения полюсов sn рекомендуется пронормировать на среднюю геометрическую частоту:
sn = sn/wo.
Продолжение расчета фильтра Баттеруорта.
6'. Значения коэффициентов am и gm (6.3.12), вычисленные по нормированным значениям sn.
am = 0.067, 0.102, 0.198, 0.284, 0.317, 0.405, 0.407, 0.444.
gm = 0.655, 1.527, 0.697, 1.436, 0.783, 1.277, 0.917, 1.091.
Коэффициент g билинейного преобразования для ненормированных значений w и полюсов sn имеет классическую форму: g = 2/Dt. Соответственно, для нормированных значений: g = 2/(Dt·wo). После билинейного z-преобразования выражения (6.3.11), получаем:
H(z) = G
Gm (1-z2)/(1-bm z+cm z2). (6.3.13)Gm = 1/(g+am+gmg-1. (6.3.14)
bm = 2Gm(g-gmg-1). (6.3.15)
cm = Gm(g-am+gmg-1. (6.3.16)
Продолжение расчета фильтра Баттеруорта (по нормированным полюсам sn).