«Применение ит в исследованиях по прикладной теоретической физике» (стр. 2 из 4)

В результате деформации кристалла, которая описывается тензором дисторсии,

изменяются расстояния между точками кристалла, что приводит к следующему изменения векторов прямой решетки:

здесь Ap обозначает совокупность всех векторов прямой решетки деформированного кристалла, IdentityMatrix[3] задает единичную матрицу размерности 3, Dot[,] задает оператор скалярного произведения, оператор /@ обозначает применение функции, стоящей слева, к каждому элементу массива, стоящего справа, ε обозначает параметр, учитывающий малость относительной деформации, в конечном результате ε будет положен равным 1. Как видно из данного выражения, в некоторых случаях Mathematica позволяет записывать выражения в бескоординатной, прямой тензорной, форме. Анализирую полученное выражение, действительно убеждаемся, что осуществлено преобразование

.

Как и выше, построим по набору векторов прямой решетки вектора обратной решетки, и убедимся в взаимной ортогональности векторов прямой и обратной решетки:

.

Полученные вектора обратной решетки деформированного кристалла выражены через компоненты векторов прямой решетки недеформированного кристалла, компоненты тензора дисторсии и малый параметр ε. Однако результаты дифракционного эксперимента дают информацию о векторах обратной решетки, в связи с чем необходимо знать, как выражаются вектора обратной решетки деформированного кристалла через компоненты векторов обратной решетки недеформированного кристалла и компоненты тензора дисторсии. Для этой цели выразим компоненты векторов прямой решетки через вектора обратной решетки:

здесь Bv обозначает совокупность компонент векторов обратной решетки, рассматриваемых как независимые величины, AtoB выражает компоненты векторов прямой решетки через вектора обратной решетки, для сокращения записи введено обозначение DB для определителя матрицы B.

При проведении дифракционного эксперимента рассматривается отражение, связанное с конкретным вектором обратной решетки, задаваемым индексами Миллера (h k l):

здесь g и gp обозначают рассматриваемый вектор обратной решетки в случае недеформированного и деформированного кристалла. Заметим, что здесь g и gp выражены через компоненты векторов прямой решетки.

Экспериментально наблюдаемыми величинами является угол Брэгга θ, определяющий длину вектора обратной решетки, и углы φ и ψ, определяющие ориентацию вектора обратной решетки относительно лабораторной системы координат. Рассмотрим, как изменяется угол Брэгга при деформации кристалла. Для этого рассмотрим квадрат вектора gp, при том ограничимся линейными по деформации кристалла слагаемыми (учет слагаемых более высокого порядка не имеет смысла, поскольку теория упругости, на основе которой проводится рассмотрение, сама верна лишь в линейном приближении):

здесь операция Series[gp.gp, {ε, 0, 1}] обозначает разложение в ряд по ε до линейного слагаемого, начальное значение ε принимается равным 0. Полученный результат занимает несколько страниц и здесь не приведен, отметим, что он состоит из компонент векторов прямой решетки недеформированного кристалла и компонент тензора дисторсии. Для перехода к наблюдаемым величинам выразим компоненты векторов прямой решетки через вектора обратной решетки используя замену AtoB:

Для получения окончательного выражения учтем, как выражается вектор обратной решетки через углы θ, φ и ψ, для этой цели проведем замену

.

С помощью данной замены получаем квадрат вектора обратной решетки деформированного кристалла как функцию φ,ψ и компонент тензора дисторсии:

.

Отметим, что, как и следовало ожидать, данное квадратичное выражение оказалось функцией симметричной части тензора дисторсии.

Экспериментально изменение квадрата вектора обратной решетки фиксируется по изменению угла Брэгга θ. Вычислим это изменение dθ:

.

С физической точки зрения больший интерес представляет тензор напряжений

, который является симметричным. Связь между тензором деформации и тензором напряжений линейна, в случае кристаллов с высокой симметрией задается всего 2 величинами. Принимая ее во внимание, получаем окончательный результат:

.

Таким образом, получено соотношение между изменением угла Брэгга, возникшим из-за остаточных деформаций кристалла и тензором напряжений в кристалле. Если исследуемое вещество представляет собой поликристалл, то изменяя ориентацию образца (варьируя углы φ,ψ) получим зависимость dθ(φ,ψ). Из фитированием полученной зависимости определяются компоненты тензора напряжений.

В приведенном выше примере было использовано мизерное число встроенных функций. Однако Mathematica подходит для проведения расчетов в самых разнообразных задачах. Система поддерживает работу с элементарными, специальными, комплекснозначными, целочисленными, теоретико-числовыми, обобщенными функциями; осуществляет многочисленные тождественные преобразования; имеет мощные встроенные методы по решению систем уравнений; проводит операции над матрицами и элементами линейной алгебры, решает задачи оптимизация (до нескольких сотен переменных в нелинейном режиме) и линейного программирования (до нескольких миллионов переменных); решает задачи математического анализа, имеет функции алгебры полиномов, позволяет работать с задачами дискретной математики, теории чисел, логики; и ряд других.

Разобранный выше простой пример показывает, что система символьных вычислений Mathematica 6 предоставляет мощный инструментарий при проведении вычислений, направленных на получение аналитического результата. Поскольку нигде при проведении расчетов не были использованы конкретные численные значения рассматриваемых величин, результат обладает силой доказательства. Благодаря возможностям системы Mathematica, для получения итогового выражения от исследователя требуется запись основных формул, описывающих явление, и построение стратегии вычислений, т.е. задание последовательности действия или операций. Все промежуточные вычисления и преобразования система выполняет за человека.

Глава 3 (использование системы Mathematica 6 при проведении физических расчетов).

Наиболее востребованной и сильной возможностью системы Mathematica является, несомненно, проведение именно символьных вычислений. Однако простота и удобство в использовании, а также наличие мощных встроенных функций и алгоритмов численных вычислений позволяет использовать эту систему и при проведении численных расчетов. Следует также отметить мощную систему визуализации данных и появившуюся в версии Mathematica 6 систему динамической интерактивной манипуляции. Имеется возможность использовать операторы процедурного программирования, а в версии Mathematica 6 появились также средства отладки программного кода. И хотя каждая из упомянутых возможностей по отдельности уступает специализированным пакетам (Фортрану и прочим языкам программирования и библиотекам в области численных вычислений, пакету Origin и аналогичным в области визуализации данных, программным платформам в области создания и отладки кода), возможность их одновременного и унифицированного использования делает Mathematica 6 очень привлекательной при проведении несложных вычислений.

Рассмотрим пример использования системы Mathematica 6 для построения ω/2θ карты интенсивности дифрагированного излучения от многослойной частично релаксированной структуры.

Зададим параметры исследуемой структуры: поляризуемости, толщины, параметры кристаллической решетки каждого из слоев исходя из табличных данных:

Далее в соответствии с подходом динамической теории дифракции рентгеновского излучения [5] необходимо определить параметры волн, возникающих в каждом из слоев, исходя из параметров данного слоя и проекции волнового вектора на поверхность раздела сред. Для этого создадим функцию layd[c, i], где i - порядковый номер слоя, c - проекция волнового вектора на поверхность раздела сред, результатом действия которой являются значения коэффициентов дифракционного отражения для каждого из решения дисперсионного уравнения v1, v2 и набег фазы на данном слое φ1,φ2:

Далее, задав граничные условия на поверхности раздела каждого из слоев с помощью матриц M и Nn,

определяем амплитуду дифракционного отражения ρi[c, i] от i-го слоя для данного значения падающего волнового вектора c: