Способы устного решения квадратных уравнений (стр. 2 из 5)

х(ах + b)= 0

Произведение х(ах + b)= 0 равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

х = 0 или ах + b= 0.

Решая уравнение ах + b= 0, в котором а ≠ 0, находим

aх = – b,

х = –

.

Следовательно, произведение ах² + bx= 0 обращается в нуль при х = 0 и при

х = –

. Корнями уравнения ах² + bx= 0 являются числа 0 и – . Значит, неполное квадратное уравнение вида ах² + bx= 0 при b≠ 0 всегда имеет два корня.

Пример. Рассмотрим уравнение 4х² + 9х = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х(4х + 9)= 0.

Отсюда х = 0 или 4х + 9 = 0.

Решим уравнение 4х + 9 = 0:

4х = – 9,

х = –2

.

Ответ: х

= 0, х

= –2

.

3.Неполное квадратное уравнение вида ах²= 0 равносильно уравнению х²= 0 и поэтому имеет один единственный корень 0.

4. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена.

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Пример. Рассмотрим уравнение 7х² – 6х – 1= 0.

Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

х² –

х – = 0.

Выделим из трехчлена х² –

х – квадрат двучлена. Для этого разность

х² –

х представим в виде х² – 2· х, прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим

х² – 2·

х + – – = 0.

Отсюда х² – 2·

х + = + ,

= .

Следовательно, х –

= – или х – = ,

х –

= – или х – = ,

х = –

или х = 1.

Уравнение имеет два корня: –

и 1.

5. Решение квадратных уравнений по формуле.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение

ax² + bx + c = 0.

Разделив его обе части на а, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

х² +

х +

= 0.

Выделим из трехчлена х² +

х +

квадрат двучлена. Для этого сумму

х² +

х представим в виде х² +2х∙

, прибавим к ней выражение

и вычтем его. Получим

х² +2х∙

+

–

+

= 0,

х² +2х∙

+

=

–

,

= – ,

= .

Уравнение

= равносильно уравнению ax² + bx + c = 0. Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4а

–положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком его числителя, т. е. выражения b

– 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Его обозначают буквой D, т.е.

D = b

– 4ас.

Дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 – выражение

b

– 4ас= D – по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Различные возможные случаи в зависимости от значения D.

1) Если D >0, то уравнение имеет два корня:

х

=

и х

=

.

Пример. Рассмотрим уравнение 2x² –3x + 1= 0.

а=2; b= –3; с=1,

D= b

– 4ас =(–3)

– 4ас= 9–8= 1; 2 корня.

х

=

=

=

= 0,5

х

=

=

=

= 1