регистрация /  вход

Исследование движения центра масс межпланетных космических аппаратов (стр. 3 из 14)

,

где ¦ - постоянная притяжения,

ro - единичный вектор, направленный от М к m,

,

где

- радиус-вектор, проведенный из т.М до т.m.

r - относительное расстояние от М до m.

На точку М действует сила Fz , равная по величине и направлен­ная в противоположную сторону.

На основе второго закона Ньютона уравнения движения матери­альных точек М и m имеют вид:

(1),
(2)

или

(3),
(4)

где p1 - радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной сис­темы координат в точку m.

p2 - радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной сис­темы координат в точку М.

.

Вычитая из уравнения (3) уравнение (4), получим уравнение дви­жения мате­риальной точки m относительно притягивающего цен­тра М:

Так как m<<М, следовательно, можно пренебречь ускорением, которое КА с массой m сообщает притягивающему центру М. То­гда можно совместить начало инерциальной системы координат с при­тягивающим центром М. Следовательно,

.

Таким образом, уравнение невозмущенного движения КА отно­сительно притягивающего центра М в инерциальной системе коор­динат, центр которой находится в М, имеет вид

,

где m = fM - гравитационная постоянная Земли.

Рассмотрим возмущенное движение КА в геоцентрической эква­ториальной (абсолютной) системе координат OXYZ:

- начало О - в центре масс Земли.

- ось X направлена в точку весеннего равноденствия g.

- ось Z совпадает с осью вращения Земли и направлена на Север­ный полюс Земли.

- ось Y дополняет систему до правой.

Движение КА в абсолютной системе координат OXYZ происхо­дит под действием центральной силы притяжения Земли Fz , а также под действием возмущающих сил Fв . Уравнение движения имеет вид

или

где m = 597 кг - масса КА.

В проекциях на оси абсолютной системы координат OXYZ полу­чим

или

или

или

где ax в , ay в , az в - возмущающиеся ускорения.

Основные возмущающиеся ускорения вызываются следующими причинами:

- нецентральностью поля притяжения Земли.

- сопротивлением атмосферы Земли.

- влиянием Солнца.

- влиянием Луны.

- давлением солнечного света.

2.4.2. ВОЗМУЩАЮЩИЕ УСКОРЕНИЯ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА МКА

1) Возмущающееся ускорение, вызванное нецентральностью гра­витационного поля Земли.

Рассмотрим потенциал поля притяжения Земли. При точном рас­чете параметров орбиты спутников, в качестве хорошего прибли­же­ния к действительной поверхности Земли принимают геоид. Геоид - это гипотетическая уровенная поверхность, совпадающая с поверх­ностью спокойного океана и продолженная под материком.

Иногда в баллистике под геоидом понимают не поверхность, а тело, которое ограничено поверхностью мирового океана при не­ко­тором среднем уровне воды, свободной от возмущений. Во всех точках геоида потенциал притяжения имеет одно и то же значение.

Потенциал притяжения Земли можно представить в виде разло­же­ния по сферическим функциям.

где m z = fM z - гравитационная постоянная Земли.

r0 - средний экваториальный радиус Земли.

с nm , dnm - коэффициенты, определяемые из гравиметрических дан­ных, а также по наблюдениям за движением ИСЗ.

L - долгота притягивающей точки.

j - широта притягивающей точки.

Pnm (sin j ) - присоединенные функции Лежандра степени m и по­рядка n (при m ¹ 0).

Pnm (sin j ) - многочлен Лежандра порядка n (при m = 0).

Составляющие типа ( m z /r)(r0 /r)n cn0 Pn0 (sin j ) - называют зональ­ными гармониками n-по­рядка. Т.к. полином Лежандра n-го по­рядка имеет n действительных корней, функция Pn0 (sin j ) будет ме­нять знак на n широтах, сфера делится на n+1 широтную зону, где эти составляю­щие имеют попеременно «+» или «-» значения. По­этому их называют зональными гармониками.

Составляющие типа

( m z /r)(r0 /r)n cnm cos(mL)Pnm (sin j ) и ( m z /r)(r0 /r)n dnm sin(mL)Pnm (sin j )

- называют тессеральными гармониками n-порядка и степени m. Они обращаются в 0 на 2m меридианах, где cos(mL) = 0 и sin(mL) = 0 и на n-m параллелях, где Pnm (sin j ) = 0 или dm Pnm (sin j )/d(sin j )m = 0 , сфера делится на n+m+1 трапецию, где эти составляющие сохра­няют знак.

Составляющие типа и

( m z /r)(r0 /r)n cnn cos(nL)Pnn (sin j ) и ( m z /r)(r0 /r)n dnn sin(nL)Pnn (sin j )

- называют секториальными гармониками n-порядка и степени m. Эти составляющие меняю знак только на меридианах, cos(nL) = 0 и sin(nL) = 0 , на сфере выделяют 2n меридиональных секторов, где эти составляющие со­храняют знак.

Многочлен Лежандра степени n находится по следующей фор­муле:

Pn0 (z) = 1/(2n n!) ´ (dn (z2 - 1)n /dzn )

Присоединенная функция Лежандра порядка n и степени m нахо­дится по следующей формуле:

Pnm (z) = (1-z2 )m/2 ´ dm Pn0 (z)/dzm

Возмущающая часть гравитационного потенциала Земли равна

U в = U’ + D U’ = (U - m z /r) + D U’

где D U’ - потенциал аномалий силы тяготения Земли.

U’ - часть потенциала Земли, которая учитывает несферичность Земли.

Следовательно,

Первая зональная гармоника в разложении потенциала учиты­вает полярное сжатие Земли.

Зональные гармоники нечетного порядка и тессеральные гармо­ники, где n-m нечетное число - учитывают ассиметрию Земли отно­сительно плоскости экватора.

Секториальные и тессеральные гармоники - учитывают ассимет­рию Земли относительно оси вращения.

Первая зональная гармоника имеет порядок 10-3 , а все остальные - порядок 10-6 и выше. Поэтому будем учитывать в разложении по­тен­циала притяжения только зональную гармонику (n=2, m=0) и секторальную гармонику (n=2, m=2). Также не будем учитывать потенциал аномалий силы тяго­тения Земли DU’.

Таким образом,

U в = ( m z /r)(r0 /r)2 [c20 P20 (sin j ) + (c22 cos(2L) + d22 sin(2L))P22 (sin j )],

где c20 = - 0,00109808,

c22 = 0,00000574,

d22 = - 0,00000158.

P20 (x) = 1/22 2! ´ d2 (x2 - 1)2 /dx2 .

Следовательно P20 (x) = (3x2 - 1)/2.

Так как sin j = z/r , следовательно P20 (sin j ) = (3(z/r)2 - 1)/2.

P22 (x) = (1 - x2 )2/2 ´ d2 P20 (x)/dx2 = 1/2 ´ (1 - x2 ) ´ d2 (3x2 - 1)/dx2

Следовательно P22 (x) = 3(1 - x2 ).

Так как sin j = z/r , следовательно P22 (sin j ) = 3(1 - (z/r)2 ).

Значит

Чтобы найти возмущающее ускорение от нецентральности поля тяготения Земли в проекциях на оси абсолютной системы коорди­нат OXYZ, надо взять производные от возмущающего потенциала U в по координатам X, Y, Z, причем r = Ö (x2 + y2 + z2 ).

Следовательно,

2) Возмущающее ускорение, вызванное сопротивлением атмо­сферы.

При движении в атмосфере на КА действует сила аэродинамиче­ского ускорения Rx , направленная против вектора скорости КА от­но­сительно атмосферы:

ДОБАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ  [можно без регистрации]
перед публикацией все комментарии рассматриваются модератором сайта - спам опубликован не будет

Ваше имя:

Комментарий

Хотите опубликовать свою статью или создать цикл из статей и лекций?
Это очень просто – нужна только регистрация на сайте.