Інтегруючи ці нерівності по і використовуючи властивості 10, 40 , одержимо
. (11.14)
Із нерівностей (12.11) випливає
тобто число знаходиться між найменшим та найбільшим значеннями функції В силу зв’язності існує неперервна крива, що належить ,
і яка з’єднує точки і тобто така крива, що
Функція
неперервна на відрізку (як суперпозиція неперервних функцій) і приймає на його кінцях значення .
Але тоді за теоремою про проміжне значення функції однієї змінної, існує таке , що в точці має місце рівність
що й доводить теорему.
1) Множина називається зв’язною, якщо довільні дві точки цієї множини можна з’єднати неперервною кривою, яка належить
Зауваження. Число називається середнім значенням неперервної функції в області .
Теорема існування. Якщо функція неперервна в замкнутій обмеженій області з кусково-гладкою границею, то вона інтегровна на так само, як і на і
(11.15)