Смекни!
smekni.com

Основні задачі математичної фізики (стр. 3 из 3)

U=Ф(j)R(r). (3)

Підставляючи в ріність (1’), вийде:

r2Ф(j)R¢¢(r)+rФ(j)R¢(r)+Ф¢¢(j)R(r)=0

або

. (4)

Так як ліва частина цієї рівності не залежить відr, а права від j, отже, вони рівні постійному числу, яке ми позначаємо через –k2. Таким чином рівність (4) дає нам два рівняння:

Ф¢¢(j)+k2Ф(j)=0, (5)

r2R¢¢(r)+rR¢(r)-k2R(r)=0 (5¢)

Загальне рішення рівності (5) буде

Ф=Аcoskj+Bsinkj. (6)

Рішення рівняння (5¢) будем шукати у формі R(r)=rm. Підставляючи R(r)=rm у (5¢), дістанемо:

r2m(m-1)rm-1-k2rm=0

або

m2-k2=0.

Отже, маємо два лінійно незалежних рішення rk і r-k. Загальне рішення рівняння (5¢) буде

R=Crk+Dr-k. (7)

Вираз (6) і (7) підставляємо у (3):

Uk=(Akcoskj+Bksinkj)(Ckrk+Dkr-k). (8)

Функція (8) буде рішенням рівняння (1¢) при довільному значенні k, відмінним від 0. Якщо k=0, то рівняння (5) і (5¢) приймають вид:

Ф¢¢=0, rR(r)+R¢(r)=0,

отже,

U0=(A0+B0j)(C0+D0lnr). (8¢)

Рішення має бути періодичною функцією від j, так як при одному і тому ж значенні r при j і j+2p ми маємо мати одне і те ж значення рішення, тому що розглядається одна і та ж точка кола. Виходячі з цього очевидно, що у формулі (8¢) має бути В0=0. Далі, ми шукаємо рішення, непреривне і кінцеве в колі. Отже, в центрі кола при r=0 рішення має бути кінцевим, і тому у формулі (8¢) має бути D0=0, а у формулі (8) Dk=0.

Таким чином, права частина (8¢) перетворюється в добуток А0С0, яке ми позначимо як А0/2. Отже,

. (8¢¢)

Ми будем складати рішення нашої задачі у вигляді суми рішень виду (8), так як сума рішень є рішення. Сума має бути періодичною функцією від j. Для цього k має приймати цілі значення. Ми маємо обмежитись тільки додатніми значеннями

K=1, 2, …, n, …,

так як в силу произвольности постійних А, В, С, D від’ємні значення k нових частинних рішень не дають. Отже,

(9)

(постійна Сn включена у An i Bn). Тепер підберемо произвольные постійні Anі Bn так, щоб задовільнялась крайова умова (2). Підставляючи в рівність (9) r=R, на основі умови (2) дістанемо:

. (10)

Щоб мала місце рівність (10), потрібно, щоб функція f(j) розкладалась в ряд Фур’є в інтервалі (-p,p), та щоб AnRnі BnRn були її коефіцієнтами Фур’є. Отже, Anі Bnмали визначатись по формулам:

. (11)

Отже, ряд (9) з коефіцієнтами, визначиними по формулам (11), буде рішенням нашої задачі, якщо допускає почленне двухкратне диференціювання по r і j. Перетворемо формулу (9). Підставляючи замість An і Bn їх вирази (11) і виконуючі тригонометричні перетворення, дістанем:

. (12)

Перетворимо вираз, що стоїть в квадратних душках:

. (13)

Замінюючи вираз, що в квадратних душкаху у формулі (12), виразом (13), отримаюмо:

. (14)

Формула (14) називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f(j) неперервна, то функція U(r,j), визначена інтегралом (14), задовільняє рівність (1¢) і при r®R буде U(r,j)®f(j), тобто U(r,j) являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.