| № п/п | Права частина f(x) | Випадки | Частинний розв¢язок |
1 | f(x)=aemx(a,m - сталі) | 1) m2+pm+q¹0, 2) m2+pm+q=0: a) p2-4q>0, b) p2-4q<0. | z=Aemx, --------- z=Axemx, z=Ax2emx. |
| 2 | f(x)=Mcoswx+Nsinwx (M,N,w - сталі, w¹0) | 1) p2+(q-w2)2¹0, 2) p=0, q=w2. | z=Acoswx+Bsinwx, z=x(Acoswx+Bsinwx) |
| 3 | f(x)=ax2+bx+c (a,b,c – сталі) | 1) q¹0, 2) q=0, p¹0. | z=Ax2+Bx+C, z=x(Ax2+Bx+C). |
A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти.
Х.Криволінійні інтеграли.
1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y), взятий по кусково гладкій кривій К:x=x(t), y=y(t) (t є [a, b]), дорівнює
(1)
Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) (a£x£b), то
23
Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К.
Якщо f(x, y) є лінійна густина лінії К, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К.
2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у), взятий по кусково гладкому шляху К:x=x(t), y=y(t) (t є [a, b]), визначається за формулою:
(2)
Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [a, b]), то
.
Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К.
Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили
F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К.
3. Якщо виконується умова Х(х, у)dx+Y(x, y)dy=dU(x, y), то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і
, (3)
де (х1,у1) – початкова точка шляху і (х2,у2) – кінцева точка шляху.
Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y).
24
графіка функції у=f(x)в точці з абсцисою х.
Правила і формули диференціювання:
а) C¢=0; б) (U+V-W)¢=U¢+V¢-W¢;
в) (CU)¢=CU¢; г) (UV)¢=U¢V+V¢U;
д) е)
є) ; и) (хn)¢=n xn-1, x¢=1;
і) (sin x)¢=cos x; ї) (cos x)¢=-sin x;
й) (tg x)¢=sec2x; к) (сtg х)¢=-cosec2x;
л)м) (аx)¢=ax ln a, (ex)¢=ex.
н) (аrcsin x)¢= o) (arccos x)¢=;
п) (arctg x)¢= р) (arcctg x)¢=
7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:
f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f¢/(x),де x є (х1,х2).
8. Функія у=f(x) зростає, якщо f¢/(x)>0,і спадає, якщо f¢(x)<0.
9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду або :
якщо границя з права існує.
10. Локальна формула Тейлора:
f(x)=f(x0)+f¢/(x0)(x-x0)+…+
де f(n)(x) існує в деякому повному околі точки х0.
11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x0:
5
6) .
7)
8)
9) .
10) .
11) .
12) де a¹0.
13)
14)
3. Основні методи інтегрування.
а) метод розкладу:
, де f(x)=f1(x)+f2(x)
б) метод підстановки: якщо x=j(t), то
в) метод інтегрування частинами:
4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) - неперервна і F¢(x)=f(x), то
.
5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:
8
де , (n=1, 2,…).
IX.Диференціальні рівняння.
1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.
X(x)Y(y)dx+X1(x)Y1(y)dy=0
має загальний інтеграл: (1)
Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1(х)=0 і У1(у)=0.
2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:
P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,
де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u*x (u – нова функція).
3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:
a(x)y¢+b(x)y+c(x)=0
можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u*v,
де u – не нульовий розв¢язок однорідного рівняння
a(x)y¢+b(x)y=0, а v – нова функція.
4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо y¢¢=f(x), то загальний розв¢язок:
;
б) якщо y¢¢=f(у), то загальний інтеграл:
;
в) якщо y¢¢=f(у¢), то загальний інтеграл рівняння можна
21
знайти з співвідношення: , де у¢=р.
5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо у¢¢=f(x, y¢), то приймаючи у¢=р(х), отримуємо:
;
б) якщо у¢¢=f(у, y¢), то приймаючи у¢=р(у), отримуємо:
.
6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
у¢¢+р(х)у¢+q(x)y=0має вигляд
у=С1у1+С2у2,
де у1і у2 – лінійно незалежні частинні розв¢язки.
7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
у¢¢+р(х)у¢+q(x)y=f(x)має вигляд ,
де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.
8. Таблиця 1.
Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у¢¢+ру¢+qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2+pk+q=0.
22
(a>0,a¹1); d(ln u)=
4) d(sin u)=cos u du; 10) d(arctg u)=;
5) d(cos u)= -sin u du; 11) d(arcctg u)=
6) d(tg u)= 12) df(u)=f¢(u)du.
15.Малий приріст диференційованої функції:
f(x+∆x)-f(x)»f¢(x)∆x
16. Диференціал другого порядку функції у=f(x), де х - незалежна змінна (d2x)=0:
d2y=у''dx2.
III. Інтегральне числення.
1. Якщо dy=f(x)dx, то y= (незвичайний інтеграл).
2. Основні властивості незвичайного інтеграла:
а)
б) в) (А¹0)
г)
Таблиця найпростіших невизначених інтегралів.
1) (m¹-1).
2) , (при х<0 i при x>0).
3) ;
4) (a>0, a¹1).
5) .
7
де h=(b-a)/n, x0=a, xn=b, y=f(x), yi=f(x0+ih), (i=0,1,2,…,n).
11. Формула Сімпсона:
де h=(b-a)/2.
12. Невласний інтеграл:
13.Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=f(x) (f(x)³0), віссю Ох і двома вертикалями х=а, х=b (a<b): .
14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією r=f(j) (r i j - полярні координати) і двома промінями j=a, j=b(a<b): .
15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х=b (a<b):
.
16. Довжина дуги гладкої кривої r=f(j) в полярних координатах j і r від точки j=a до точки j=b (a<b):
,
17. Довжина дуги гладкої кривої х=j(t)y=y(t), задано параметрично(t0<T):
18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x):
10
9. Ряд Маклорена.
10. Розклад в степеневі ряди функцій:
а) , при êxú < 1;
б) ln(1+x) = , при –1<x£1;
в) , при êxú£ 1;
г) , при êxú< +¥;
д) ,
при êxú< +¥;
е) , при êxú< +¥;
ж) ,
при êxú < 1.
11. Ряд Тейлора.
12. Ряди в комплексній області: .
13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд
19
також збігається (абсолютно).
14. Формули Ейлера:, .
15. Тригонометричний ряд Фур¢є кусково-гладкої функції f(x)періоду 2lмає вигляд:
, (1)
де , (n=0, 1, 2,…);
, (n=1, 2,…).
(коефіцієнти Фур¢є функції f(x)). Для функції f(x) періоду 2p маємо ,
де , (n=0, 1, 2,…).