План практичних занять
1. Правило Лопіталя.
2. Розкриття невизначеностей вигляду
3. Зростання та спадання функцій. Екстремуми функцій.
4. Найбільше та найменше значення функції на відрізку.
5. Опуклість та вгнутість кривої. Точка перегину.
6. Асимптоти графіка функцій.
7. Дослідження функцій та побудова їх графіків.
8. Використання поняття похідної в економіці.
Термінологічний словник ключових понять
Правило Лопіталя — Границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їхніх похідних (скінченній або нескінченній), якщо остання існує.
Екстремуми функції — а) При значенні x1 аргументу xфункція f(x) має максимумf(x1), якщо в деякому околі точки х1виконується нерівність f(x1)>f(x)(xx1).б) При значенні x2аргументу xфункція f(х) має мінімум f(x2), якщо в деякому околі точки x2; має місце нерівність f(x2)<f(x)(xx2). Максимум або мінімум функції називається екстремумом функції.
Опуклість та вгнутість кривої— Крива на проміжку називається опуклою (вгнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) будь-якої її дотичної на цьому проміжку.
Точка перегину — Tочка, яка відокремлює випуклу частину кривої від вгнутої.
Асимптота — Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки Мкривої до цієї прямої при віддаленні точки Му нескінченність прямує до нуля.
Еластичність функції— Еластичність функції Еx(у) називається границя відношення відносного приросту функції yдо відносного приросту змінної х при x-0.
Економічний зміст частинних похідних
Аналогічно поняттю еластичності функції однієї змінної ми можемо ввести поняття частинних еластичностей функції двох змінних.
Припустимо, що функції x1 = f(p1;p2)і x2 =f(p1;p2) виражають попит на товари А і В, які залежать від ціни на ці товари. Частинні еластичності попиту відносно цін p1 і р2складають
Частинна еластичність E11 попиту на товар А відносно ціни товаруА приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товарА, якщо ціна товару А зростає на 1%, а товару В залишається незмінною.
Частинна еластичність Е12попиту на товар А відносно ціни товару Вприблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар А, якщо ціна товару В зростає на 1%, а товару А залишається без змін і т. п.
Приклад: Припустимо, що функція попиту на товар А є
Знайти частинні показники еластичностей.
Маємо
одержимо
Це означає, що якщо ціна товару А зростає на 1%, а товару В залишається без змін, тоді попит на товар, знижується на 0,3%. Далі, Е12 = = 0,05 тобто, якщо ціна товару В зростає на 1% при незмінній ціні товару А, попит на товар А зростає приблизно на 0,05%.
План практичних занять
1. Частинні похідні першого порядку. Повний диференціал.
2. Градієнт. Похідна за напрямом.
3. Похідна від неявної функції.
4. Частинні похідні і диференціал вищих порядків.
Лабораторні роботи
1. Наближене обчислення за допомогою повного приросту або повного диференціалу.
2. Застосування частинних похідних в економіці.
Термінологічний словник ключових понять
Диференційовна функція z = f(x, у) — це функція, повний приріст якої можна подати у вигляді = Ах + Ву + х + у, де А , В — числа, , — нескінченно малі при, - 0.
Повний приріст — це різниця f(x0 + х, у0 + у) - f(x0, y0), де х, у — прирости, що надаються точці (х0,у0) так, щоб точка (х0+ х,у0 + у) не виходила за межі околу точки (х0,у0).
Повний диференціал — це головна лінійна частина приросту функції, тобто Aх + Bу.
Повний диференціал функції двох змінних z= f(x, у) обчислюється заформулою
Похідна за напрямомхарактеризує швидкість змінювання функціїz= f(x; y). У точці Po(x0;y0)за напрямом = (cos, cos) і обчислюється за формулою
Градієнт — це вектор з координатами, який характеризує напрям максимального зростання функції z- f(x,y)у точці Р0 (х0, у0):