Пошукова робота на тему:
Поняття множини. Змінні та постійні величини. Функція, область визначення. Лінії та поверхні рівня. Способи задання. Графіки, їх перетворення. Основні елементарні функції та їх графіки. Поняття неявної, складної та оберненої функції.
План
ВСТУП ДО АНАЛІЗУ
1. Поняття множин
Множина – одне з найпростіших (первісних) математичних понять, яке не можна означити через інші, ще простіші поняття. Його можна пояснити тільки за допомогою рівнозначних понять або на окремих прикладах.
Під множиною розуміють сукупність об’єктів об’єднаних в цю сукупність за певними ознаками. Наприклад, можна говорити про множину студентів даного курсу, множину чисел у натуральному ряді, множину сторінок у книжці тощо.
Множини позначають великими буквами латинського і грецького алфавітів. Об’єкти, що входять до складу множини, називають її елементами і позначають малими буквами алфавіту. Задати множину – це означає задати характеристику її елементів, за допомогою якої про будь-який об’єкт можна встановити, належить він цій множині чи ні. Так множину студентів даного курсу задають списком. Множина парних чисел характеризується тим, що кожний її елемент ділиться на число 2.
Якщо - множина, - її елемент, то це символічно записують: і читають: “належить ”.
Символічний запис означає, що не належить
Якщо через позначено будь-який елемент множини, то записують:
.
Нехай маємо дві множини і . Якщо кожний елемент множини належить і множині , то називається підмножиною множини Цей факт записують так:
, або
і читають: “міститься в ”, або “містить в собі ”. Наприклад, кожний елемент множини, елементами якої є парні додатні числа, належить також і множині натуральних чисел.
Якщо кожний елемент множини належить і множині і , навпаки, кожний елемент множини належить множині то множини та називаються рівними :
Якщо множина містить безліч елементів, то її називають нескінченною, у противному разі – скінченою.
Якщо у множині немає жодного елемента , то її називають порожньою і позначають символом .
Для множини введемо такі операції.
Об’єднання множин. Нехай маємо дві множини і . Тоді множинуяка містить у собі всі елементи множин та і не містить ніяких інших елементів, називають об’єднанням (сумою) множин та і записують:
Якщо задано множини , де може пробігати як скінчену, так і нескінченну множину значень, то об’єднання позначають так:
Переріз множин.Нехай маємо дві множини і Тоді множину , яка містить всі спільні елементи множин і і не містить ніяких інших елементів, називають перерізом /добутком/ множин та і записують:
Якщо ми маємо деякі множини , то переріз цих множин позначають так:
.
Різниця множин. Нехай маємо дві множини і . Тоді множину , що містить у собі всі ті елементи множини , які не належать множині , і не містить ніяких інших елементів , називаються різницею множин та і записують :
2. Множина дійсних чисел
Множина дійсних чисел складається з раціональних та ірраціональних чисел.
Цілі та дробові числа як додатні, так і від’ємні, а також число нуль називаються раціональними числами. Кожне раціональне число можна зобразити у вигляді нескоротного дробу (- будь-які
натуральні числа, Числа, виражені нескінченними
неперіодичними десятковими дробами, називаються ірраціональними: сукупність раціональних та ірраціональних чисел – множиною дійсних чисел.
Основні властивості множини дійсних чисел відомі із шкільного курсу математики. Зупинимось докладніше на понятті абсолютної величини (модуля) дійсного числа.
Означення.Модулем дійсного числа називається число, якщо і протилежне йому число якщо
Модуль числа позначається символом і за означенням
З геометричної точки зору модуль числа означає відстань від точки числової осі з абсцисою до точки відліку 0. На основі геометричного змісту модуля дійсного числа можна довести такі властивості:
1)
2) якщо то
3) якщо то або або
Сформулюємо ряд теорем, що виражають властивості модуля дійсного числа.
Теорема 1. Модуль суми скінченого числа дійсних чисел не перевищує суми модулів цих чисел:
Теорема 2.Модуль різниці не менший за різницю модулів зменшуваного і від’ємника, тобто
Теорема 3.Модуль добутку скінченого числа співмножників дорівнює добутку модулів цих співмножників:
Теорема 4.Модуль частки дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника:
якщо
3. Найпростіші множини дійсних чисел
Дамо означення найпростіших числових множин.
Між множиною дійсних чисел і множиною точок числової осі існує взаємно однозначна відповідність. Тому в математичному аналізі часто користуються множинами точок, розміщених на числовій осі.
10. Множина всіх дійсних чисел (всіх точок числової осі), які задовольняють нерівності
де і - довільні точки числової осі. Таку множину називають відрізком, або сегментом, і позначають символом
Часто замість нерівностей пишуть і читають :
“належить відрізку ”. Точку при цьому називають лівим, а точку - правим кінцем відрізка
20. Множина всіх дійсних чисел (всіх точок числової осі), які задовольняють нерівності
Таку множину називають проміжком, або інтервалом, і позначають символом Точки і при цьому називають відповідно лівим і правим кінцем інтервалу. Замість нерівностей пишуть і читають :”належить інтервалу ”.
Інтервал відрізняється від відрізка тим, що кінці інтервалу не належать. Число називається довжиною як відрізкатак і інтервалу
30. Множина точок числової осі, які задовольняють нерівності:
Такі множини точок називаються відповідно півінтервалом і піввідрізком і позначають
Зауважимо, що інтервали, півінтервали і піввідрізки можуть
бути й нескінченними і означати:
а) нескінченний інтервал - множину всіх значень що задовольняють нерівності
б) піввідрізки - множини всіх значень що задовольняють нерівності
Нехай - довільне дійсне число. Тоді інтервал де - будь-яке дійсне число, називається - околом точки. Точка, що лежить всередині цього інтервалу, називається центром околу, а число - радіусом околу, тобто - окіл числа - це множина всіх дійсних чисел які задовольняють нерівності , або
5.2. Функції
5.2.1.Функція. Область визначення і множина значень функції
У природі та різних науках про природу зустрічаються величини, які при даних умовах або навіть за будь-яких умов: мають одне й те саме значення. Такі величини називають сталими. Якщо значення величини змінюється, то таку величину називають змінною.
Означення. Змінна величина називається функцією незалежних змінних якщо кожній сукупності значень змінних із деякої області відповідає одне певне значення величини із множини .
Область називається областю визначення, або областю існування функції , а множина всіх числових значень, прийнятих в області визначення, називається областю значень, або областю зміни функції .
У загальному випадку для позначення функціональної залежності вживається символ або
Нехай Сукупність чисел будемо тлумачити як координати точки тобто
При зміні значень точка буде переміщуватися в області існування причому кожному її положенню відповідає певне числове значення функції Ось чому функцію ще називають функцією точки і позначають таким самим символом,
В дальшому будемо детально вивчати лише випадки і Цього достатньо, щоб розглянути, що є спільного між функціями і та що нового виникає при переході від функції однієї змінної до функцій багатьох змінних.
Функцію можна задавати різними способами, і ніяких обмежень на форму не накладається. Ми лише назвемо ці способи: аналітичний, словесний, графічний, табличний і програмний.
Зауваження 1. В означенні поняття функції кожному значенню відповідає одне значення У цьому випадку функцію називають однозначною (на відміну від багатозначної функції, для якої відповідає не одна, а кілька, навіть нескінченна множина значень ). Надалі, якщо не буде оговорено окремо, під функцією розумітимемо однозначну функцію.
Зауваження 2.Областю в - мірному просторі називається множина точок цього простору, яка має такі дві властивості: кожна точка що належить є внутрішньою точкою (тобто входить в разом із деяким своїм околом); будь-які дві точки і що належить можна з’єднати неперервною лінією, що належить