Теорія функцій займається також вивченням властивостей функцій, розмірності області визначення яких більше за одиницю (функції декількох змінних). Звідси вже можна перейти до функцій, областями визначення яких служать різного роду абстрактні простори, і навіть до функцій, значення яких також належать багатомірний просторам (такі, наприклад, векторні поля в фізиці) або абстрактним просторам. Таким чином, теорія функцій непомітно переходить, з одного боку, в функціональний аналіз, а з іншою в топологію.
ВИКОРИСТАННЯ
У природних науках. Аналітичні функції широко використовуються в деяких областях науки і техніки просто тому, що дають в руки дослідника зручний математичний апарат. Ч.Штейнметц (1865 1923) був першим, хто привернув увагу інженерів-електриків до тих практичних переваг, які дають комплексні функції при розгляді проблем, пов'язаних із змінним струмом . Аналогічно, для спрощення процедури рішення лінійних диференціальних рівнянь, виникаючих в електротехнікові і механікові, О.Хевісайд (1850 1925) ввів формальне операційне числення , яке нині витіснене перетвореннями Лапласа і Фурье, що представляють окремі випадки інтегрального уявлення Коши з теорії аналітичних функцій. У зв'язку з цим при обчисленні невласних дійсних інтегралів, часто виникаючих в практичних проблемах, широко використовується теорія вирахування Коши.
Більш грунтовний внесок був внесений теорією аналітичних функцій в гидродинамику і теорію теплопровідності. Перша точка зіткнення зв'язок з поняттям гармонічної функції. Якщо функція F аналитична в області D і F(z) = u + iv, то диференціюючи рівняння Коши Рімана (7), не важко пересвідчитися в тому, що u і v рішення диференціального рівняння Лапласа в приватних похідних
Будь-яке рішення рівняння (13) в області D називається функцією, гармонічною в D. Таким образом , дійсна (або уявна) частина будь-якої аналітичної функції функція, гармонічна всюди. Навпаки, якщо Н будь-яка функція, гармонічна в односвязной області D, то вона є дійсною частиною деякої комплексної функції F, аналитичной в D.
Диференціальне рівняння типу (13) виникає в багатьох задачах в різних областях науки і техніки. Воно є математичним формулюванням закону про розподіл температури в нерівномірно нагрітому тілі. Ліва частина цього рівняння входить в так зване хвильове рівняння, що грає фундаментальну роль в теорії коливань. Недивно, що прикладна математика широко використовує методи теорії функцій комплексного змінного для рішення своїх задач.
У гидродинамике теорія функцій комплексного змінного використовується для рішення задач, пов'язаних зі сталою плоско-паралельною течією нестискуваної безвихревой рідини. Вектор швидкості такої рідини в точці ( х , у) можна записати у вигляді a( х , у) + ib( х , у);внаслідок природи течії існує гармонічна функція u, така, що
Функція u називається потенціалом швидкостей течії. Відповідна аналітична функція F називається комплексним потенціалом швидкостей, її дійсна частина співпадає з u. Пользуясь конформными відображеннями, таку функцію можна використати для опису ліній струму при що обтікаються складного профілю, навантаженого в рухому рідину. У аэродинамике вивчення того, що обтікається привело до відкриття закону утворення підіймальної сили крила літака.
У чистій математиці. Математика не колекція ізольованих один від одного областей. Відомі докази можливості розкладання на n множників будь-якого многочлена Р(х ) = c0 + c1 x +. .. + cnxn засноване на використанні основних ідей з теорії функцій, зокрема теореми Ліувілля або принципу аргументу ( Гаусс , 1799). Доказ теореми про прості числа і її уточнення, що стосується частоти, з якою прості числа 2, 3, 5, 7, 11,. .. зустрічаються серед цілих чисел, заснована на аналітичній структурі деяких комплексних функцій, введених Ріманом, Діріхле і Ж.Адамаром (1865 1963). Необхідність уточнення деяких інтуїтивно очевидних властивостей плоских кривих на основі інтегральної теореми Коши, привело до появи таких топологических понять, як гомология і гомотопия (А.Пуанкаре, 1854 1912). Пізнє вивчення взаємозв'язку між гармонічними функціями і аналітичними функціями, визначеними на многосвязных множинах, привели до створення поняття накриваючої поверхні і до більш ясного розуміння поняття римановой поверхні, спочатку введеному (в 1851) для полегшення побудови теорії багатозначних функцій. У свою чергу це послужило стимулом до розробки таких ідей в теорії комплексних різноманіть і загальній теорії пучок.