Вычисление матрицы в MS Excel (стр. 2 из 2)

Функция имеет вид МОБР(массив).

Здесь массив – это числовой массив с равным количеством строк и столбцов. Массив может быть задан как диапазон ячеек, например А1:С3; как массив констант, например, {1;2;3;4;5;6;7;8;9} или как имя диапазона или массива.

Рассмотрим пример нахождения обратной матрицы.

Пример 1.3. Пусть в диапазон ячеек А1:С3 введена матрица

Необходимо получить обратную матрицу.

Решение

1. Выделите блок ячеек под обратную матрицу, например блок ячеек А5:С7 (указателем мыши при нажатой левой кнопке).

2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция – имя функции МОБР. После этого щелкните на кнопке ОК.

3. Появившееся диалоговое окно МОПРЕД мышью отодвиньте от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:С3 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке).

4. Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (рис. 1.4).

Рис. 1.4.Пример заполнения диалогового окна МОБР

5. Если обратная матрица не появилась в диапазоне А5:С7, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне А5:С7 появится обратная матрица:

Сложение и вычитание матриц

Складывать (вычитать) можно матрицы одного размера. Суммой матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) размера m×n называется матрица C = A + B, элементы которой c_ij = a_ij + b_ijдля i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n (то есть матрица складывается поэлементно). Например, если:

то С = А + В:

В частном случае А + 0 = А.

Аналогично определяют разность двух матриц С = А – В.

В MSExcel для выполнения операций суммирования и вычитания матриц могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

Пример 1.4. Пусть матрица А из рассмотренного примера, введена в диапазон А1:С2, а матрица В – в диапазон А4:С5. Необходимо найти матрицу С, являющуюся их суммой.

Решение.

1. Табличный курсор установите в левый верхний угол результирующей матрицы, например в А7.

2. Введите формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы = А1 + А4

3. Скопируйте введённую формулу в остальные ячейки результирующей матрицы: установите табличный курсор в ячейку А7; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки так, чтобы указатель принял вид тонкого крестика; при нажатой левой кнопке мыши протяните указатель до ячейки С7; затем так же протяните указатель мыши до ячейки С8.

В результате в ячейках А7:С8 появится матрица, равная сумме исходных матриц. Подобным образом вычисляется разность матриц, только в формуле для вычисления первого элемента вместо знака «+» ставят знак «-».

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число k называется матрица В = kA, элементы которой b_ij = ka_ijдля I = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n. Иначе говоря, при умножении матрицы на постоянную каждый элемент этой матрицы умножается на эту постоянную: k*A_ij = (k*a_ij).

Например, для матриц А и В из предыдущего примера:

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, то есть 0 × А = 0.

В MSExcel для выполнения операции умножения матрицы на число могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

Пример 1.5. Пусть, как и в предыдущем примере матрица А введена в диапазон А1:С2. Необходимо получить матрицу С = 3 × А.

Решение

1. Табличный курсор поставить в левый верхний угол результирующей матрицы, например в Е1.

2. Введите формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы = 3*А1.

3. Скопируйте введённую формулу в остальные ячейки результирующей матрицы: установите табличный курсор в ячейку Е1; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки так, чтобы указатель принял вид тонкого крестика; при нажатой левой кнопке мыши протяните указатель до ячейки G1; затем так же протяните указатель мыши до ячейки G2.

В результате в ячейках E1:G2 появится матрица, равная исходной матрице, умноженной на постоянную – 3.

Умножение матриц

Произведение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пусть А = (a_ij) m×n, B = (b_ij) n×p, тогда размерность произведения А×В равна m×p. При этом матрица С называется произведением матриц А и В, если каждый её элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

Таким образом, перемножение матриц осуществляется по следующему правилу:

Пусть, например,

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций умножения матриц.

Для матриц верны общие свойства операции умножения.

1. А(ВС) = (АВ)С – ассоциативность.

2. А(В+С) = АВ + АС – дистрибутивность.

3. (А + В)С + АС + ВС.

4. (αА)В = А(αВ) = α(АВ), α – константа.

Однако имеются и специфические свойства операций умножения матриц.

5. Умножение матриц некоммутативно – АВ ≠ ВА.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А n-го порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произведение равно А.

6. Если Е – единичная матрица, то ЕА = А; ЕВ = В.

Таким образом, единичная матрица играет при умножении ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

7. Из того, что А × В = 0, не следует, что А = 0 или В = 0.

В алгебре матриц нет действия деления. Выражение А/В не имеет смысла. Его заменяют два различных выражения В^-1 × А и А × В^-1, если существует В^-1.

Для квадратных матриц возможна операция возведения в степень. По определении. полагают, что А⁰ = Е и А¹ = А. Целой положительной степенью A^m(m>1) квадратной матрицей А называется произведение m матриц, равных А, то есть:

Для нахождения произведения двух матриц в Excel используется функция МУМНОЖ, которая вычисляет произведение матриц.

Функция имеет вид МУМНОЖ(массив1;массив2).

Здесь массив1 и массив2 – это перемножаемые массивы. При этом количество столбцов аргумента массив1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

Массив С, который является произведением двух массивов А и В, определяется следующим образом:

где I – номер строки, а j – номер столбца.

Рассмотрим пример умножения матриц.

Пример 1.6. Пусть матрица А из примера 1.2 введена в диапазон А1:D3, а матрица В – в диапазон А4:В7. Необходимо найти произведение этих матриц С.

Решение

1. Выделите блок ячеек под результирующую матрицу. Для этого требуется найти размер матрицы-произведения. Её размером будет mp, в данном примере 32. Например, выделите блок ячеек F1:G3.

2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция – имя функции МУМНОЖ. После этого щелкните на кнопке ОК.

4. Появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А - А1:D3 в рабочее поле Массив1 (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В – А4:В7 введите в рабочее поле Массив2 (рис. 1.5). Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Рис. 1.5.Пример заполнения рабочих полей диалогового окна МУМНОЖ

5. Если произведение матриц А×В не появилось в диапазоне F1:G3, то следует щёлкнуть указателем мыши в строке формул и ещё раз нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне F1:G3 появится произведение матриц:

Список литературы:

1. www.office.microsoft.com

2. В. Я. Гельман «Решение математических задач средствами Excel», стр. 49-60