Сравнительный анализ численных методов (стр. 3 из 9)
Условие выполнено, необходимая точность достигнута. Итерационный процесс можно прекратить. Добиться указанной точности нам удалось на 6-ой проведенной итерации.
1.3 Метод касательных
Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что на k-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y=F (x) при х=ck-1 и ищется точка пересечения касательной с точкой абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корнях.
Рисунок 4 - Метод касательных
Уравнение касательной, проведенной к кривой y=F (x) в некоторой точке с координатами х0 и F (х0) имеет вид:
y-F (х0) =F’ (х0) (x-х0).
Отсюда найдем следующее приближение корня х как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у=0):
х=х0 - F (х0) /F’ (х0).
Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных. Формула для n-го приближения имеет вид:
хn=хn-1 - F (хn-1) /F’ (хn-1), n=1,2,…
При этом необходимо, чтобы выполнялось условие F’ (хn-1) 
0.
Для окончания итерационного процесса используются те же условия, что и в методе хорд.
1.4 Практическое применение метода касательных
1.4.1 Исследование функции 
Решим уравнение
методом касательных: 
Рисунок 5 - График функции
Применим формулы:
хn=хn-1 - F (хn-1) /F’ (хn-1) и
Первая производная от функции:
9,308>0
Вторая производная от функции:
8,7<0
В качестве х0 выбрали а из условия, что значение функции в этой точке имеет такой же знак как и у второй производной на отрезке.
Применим формулу:
=0,001. 
0,0428>0.001
Условие выполнено, необходимая точность достигнута. Итерационный процесс можно прекратить. Добиться указанной точности нам удалось на 2-ой проведенной итерации.
Рисунок 6 - График
для функции 
Говоря о функции х=
, - выбрав начальное приближение х0 строится последовательность хп стремящаяся к 
и условием сходимости здесь является 
, т.е. тангенс угла наклона касательной должен быть меньше 1 (угол должен составлять менее 45 градусов). 1.4.2 Исследование функции 
Решим уравнение
методом касательных: 
Рисунок 7 - График функции
Первая производная от функции
: 
1,39>0
Вторая производная от функции
: 
2.091<0
В качестве х0 выбрали а из условия, что значение функции в этой точке имеет такой же знак как и у второй производной на отрезке.
Применим формулу:
=0,001. 
0,2106>0.001
