Система распознавания объектов в миллиметровом диапазоне радиоволн (стр. 5 из 23)
Полагая в (1.25) q равным нулю, получаем выражение для спектральной плотности мощности АР(р)–процесса
(1.30)Таким образом, как видно из (1.25), (1.29), (1.30) для оценки спектров необходимо вычисление параметров модели a[k], b[k] по известной автокорреляционной последовательности, что приводит к системе уравнений Юла–Уолкера для APCC(p,q), AP(p), СС(о)–процессов, для решения которой используют рекурсивные алгоритмы, связывающие АР–параметры более высокого порядка с параметрами более низкого порядка [31]. В связи с тем, что авторегрессионные спектры имеют более острые пики (это часто связано со спектральным разрешением) и уравнения Уюла–Уолкера для АР–процесса линейны, в отличие от APCC(p,q) и СС(о)–моделей, данное направление наиболее исследовано. Следует отметить, что свойства АР(р)–процесса и его спектра породили другие его названия – метод максимальной энтропии [25,26] и метод линейного предсказания [21,22]. Подход к трактовке коэффициентов a[k], b[k], как коэффициентов отражения при интерпретации измерений физических параметров акустической трубы [25,26] и сейсмических данных, получаемых при исследовании слоистой структуры Земли, привел к созданию популярного в настоящее время метода оценки АР–параметров по последовательности оценок коэффициентов отражения – алгоритм Берга [14,15]. Помимо алгоритма Берга в [13] рассмотрены другие алгоритмы оценки коэффициентов отражения – геометрический алгоритм, рекурсивное оценивание по методу максимального правдоподобия, предложенные в [14,15]. В основе их лежит предположение о том, что из всех коэффициентов отражения a[k] только коэффициент а[р], равный коэффициенту отражения, зависит от автокорреляционной функции.
Другой подход состоит в минимизации ошибки линейного предсказания методом наименьших квадратов по всем коэффициентам линейного предсказания. В зависимости от способа линейного предсказания различают алгоритмы с раздельным и комбинированным линейным предсказанием вперед и назад [13] – ковариационный и модифицированный ковариационный методы.
Основной трудностью реализации данных алгоритмов спектрального оценивания является неопределенность в выборе оптимального порядка фильтра. Поэтому решение о выборе того или иного порядка фильтра принимается заданием того или иного критерия ошибки, сравнением с которым определяется требуемый порядок модели. Малый порядок модели приводит к сильно сглаженным спектральным оценкам, излишне большой – к появлению ложных пиков. Следовательно, выбор порядка модели, определяющий разрешение спектра
и его дисперсию, эквивалентен выбору между разрешением и дисперсией для классических методов спектрального оценивания. Для выбора порядка модели предложено несколько критериев, подробно обсуждаемых в [14], поэтому ограничимся их кратким упоминанием:
1. Окончательная ошибка предсказания (ООП) (выбор порядка АР–процесса выбирается из требования минимизации средней дисперсии ошибки).
2. Информационный критерий Акаике (ИКА) (порядок модели определяется посредством минимизации некоторой теоретической информационной функции).
3. Авторегрессионный передаточной функции критерий (АПФК) (порядок модели выбирается равным порядку, при котором оценка разности среднего квадрата ошибки между истинным фильтром предсказания ошибки и оцениваемым фильтром минимальна).
Результаты оценивания спектра при использовании критериев ООП, ИКА, АПФК близки друг к другу в случае реальных данных. Однако в случае коротких записей данных ни один из критериев не обеспечивает удовлетворительных результатов [13]. Точного аналитического решения задачи о выборе порядка модели в настоящее время нет, поэтому необходимо проведение численных экспериментов с имитационным PC для выбора оптимального порядка модели.
Модель APCC(p,q) имеет больше степеней свободы, чем АР(р)–модель, что позволяет ожидать более адекватную передачу формы спектров. Однако основной сложностью данного метода является необходимость решения системы нелинейных уравнений, связывающих коэффициенты a[k], b[k] и автокорреляционную последовательность исходных данных. Методы решения нелинейных уравнений, основанные на интерационных алгоритмах, требуют большого количества вычислений, но самое главное, они зачастую могут не обеспечить сходимость к верному решению, поэтому были разработаны методы, основанные на методе наименьших квадратов, позволяющие провести линеаризацию системы уравнений и раздельно оценить АР-параметры, а затем СС-параметры.
Для оценки АР-параметров используется один из вариантов модифицированного уравнения Юла-Уолкера [16]. Так же неопределенным остается вопрос о выборе параметра модели, так как модификация ИКА, проведенная для АР-модели, проверена только для самых простых случаев.
Известен также метод моделирования выборочной последовательности данных в виде линейной комбинации экспоненциальных функций – метод Про–ни. то есть используется аппроксимация последовательных данных детерминированной экспоненциальной моделью [14]. Математически данный метод формулируется следующим образом. Пусть имеется N точечная последовательность данных и[1], u[N]. В методе Прони эта последовательность оценивается р–членной моделью комплексных экспонент:
(1.31)
где
, 
– время регистрации, 
k, 
— амплитуда и коэффициент затухания k–ой комплексной экспоненты, 
— частота и начальная фаза k–ой экспоненты. Функцию 
удобно представить в виде 
(1.32)где
(1.33)Здесь hк – комплексная амплитуда, независящая от времени, Zк – комплексная экспонента, зависящая от времени.
Найдем квадрат ошибки интерполяции
(1.34)Ошибку
[n] минимизируют по параметрам hк,zк и числу компонент р. Если значение р неизвестно, то задача становится нелинейной. Решение нелинейной задачи требует применение метода Ньютона или метода градиентного спуска, которые наряду с большим объемом вычислений могут не обеспечивать сходимость к истинному решению. Эти трудности привели к разработке субоп–тимальных процедур минимизации, которые получили название – метод наименьших квадратов Прони [15]. Обычный метод наименьших квадратов Прони может быть модифицирован при использовании незатухающих комплексных синусоид ( 
=0) [25]. Процедура Прони завершается вычислением оценок параметров, которые определяют амплитуду, коэффициент затухания, частоту и фазу. В [13] предложено определять спектр Прони в терминах экспоненциальной аппроксимации 
, а не в терминах временной последовательности u[n]. Спектральная плотность энергии Прони определяется как 
(1.35)где
(1.36)для односторонней функции
[n] (то есть, 
[n]=0 при n<0), 
(1.37)для двусторонней функции
[n]. Известны приложения метода Прони к анализу динамики солнечных пятен и определения резонансных пиков в диаграммах эффективной площади рассеяния радиолокационных целей [12]. Исследования вопроса применимости данного метода к анализу ЧМ сигналов нам неизвестны.К другому классу методов спектрального оценивания одномерных временных рядов относятся непараметрические методы – метод минимальной дисперсии (МД), и методы, основанные на гармоническом разложении Писаренко, – метод классификации множественных сигналов MUSIC (multipay signal classification) и метод оценки собственных векторов автокорреляционной матрицы или матрицы данных EV (eigenvector) [26].
Спектральная оценка, полученная методом МД, определяется выражением
(1.38)где
– матрица, обратная известной или оцененной автокорреляционной матрице 
размером (р+1)х(р+1), 
(1.39) 
(1.40)Алгоритм метода МД и его программная реализация приведены в [14]. Следует отметить, что оценка спектральной мощности, получаемая согласно (1.30), не характеризует полную мощность измеряемого процесса, так как обратное преобразование Фурье спектральной оценки метода МД не соответствует истинной автокорреляционной функции. То есть спектральную оценку по методу МД можно считать спектральной в том смысле, что она описывает относительные интенсивности компонент частотного спектра, высота которых прямо пропорциональна мощности синусоид, присутствующих в исходном сигнале.