Логическое и функциональное программирование (стр. 15 из 16)

Целью унификации является обеспечение возможности применения алгоритма доказательства для предикатов. Например, предположим имеем:

В данном случае L(x) и

не находятся в дополнительном отношении. При подстановке a вместо x будут получены, соответственно, и , и поскольку эти предикаты отличаются только символами отрицания, то они находятся в дополнительном отношении. Однако, операцию подстановки нельзя проводить при отсутствии каких-либо ограничений.

Подстановку tв x принято записывать как {t/x}. Поскольку в одной ППФ может находиться более одной переменной, можно оказаться необходимо провести более одной подстановки. Обычно эти подстановки записываются в виде упорядоченных пар {t1/x1, …, tn/xn}.

Условия, допускающие подстановку:

- xi – является переменной,

- ti– терм (константа, переменная, символ, функция) отличный от xi,

- для любой пары элементов из группы подстановок, например (ti/xiи tj/xj) в правых чачтях символов / не содержится одинаковых переменных.

Унификация

Обозначим группу подстановок {t1/x1, …, tn/xn} через q. Когда для некоторого представления Lприменяется подстановка содержащихся в ней переменных {x1, …, xn}, то результат подстановки, при которой переменные заменяются соответствующими им термами t1, …, tnпринято обозначать Lq.

Если имеется группа различных выражений на основе предиката L, то есть L1, …, Lm}, то подстановка q, такая, что в результате все эти выражения становятся одинаковыми, то естьL1q = L2q = … = Lmq, q - называется унификатором {L1, …, Lm}. Если подобная подстановка qсуществует, то говорят, что множество {L1, …, Lm} унифицируемо.

Множества {L(x), L(a)} унифицируемо, при этом унификатором является подстановка (a/x).

Для одной группы выражений унификатор не обязательно единственный. Для группы выражений {L(x, y), L(z, f(x)} подстановка q = {x/z, f(x)/y} является унификатором, но является также унификатором и подстановка q = {a/x, a/z, f(a)/y}. Здесь a – константа, x – переменная. В таких случаях возникает проблема, какую подстановку лучше выбирать в качестве унификатора.

Операцию подстановки можно провести не за один раз, а разделив ее на несколько этапов. Ее можно разделить по группам переменных, проведя, например, подстановку {t1/x1, t2/x2, t3/x3, t4/x4} сначала для {t1/x1, t2/x2}, а затем для {t3/x3, t4/x4}. Допустимо также подстановку вида a/xразбить на две подстановки u/xи a/u. Результат последовательного выполнения двух подстановок q и lтакже подстановка и обозначается l°q.

Если существует несколько унификаторов, то среди них непременно найдется такая подстановка s, что все другие унификаторы являются подстановками, выражаемыми в виде s°l, как сложная форма, включающая эту подстановку. В результате подстановки переменные будут замещаться константами и описательная мощность ППФ будет ограничена.

Чтобы унифицировать два различных выражения предиката, необходима такая подстановка, при которой выражение с большей описательной мощностью согласуется с выражением с меньшей описательной мощностью. Такую подстановку принято называть «наиболее общим унификатором» (НОУ). Метод отыскания НОУ из заданной группы предикатов выражений называется алгоритмом унификации.

Этот алгоритм состоит в том, что сначала упорядочиваются выражения, которые подлежат унификации. Когда каждое выражение будет упорядочено в алфавитном порядке, среди них отыскивается такое, в котором соответствующие термы не совпадают межде собой.

Положим, что при просмотре последовательно всех выражений в порядке слева направо несовпадающими термами оказались x, t. Например, получено {L(a, t, f(z)), L(a, x, z)}. В этом случае, если:

1. x является переменной;

2. xне содержится в t, к группе подстановок добавляется {t/x}.

Если повторением этих операций будет обеспечено совпадение всех изначально заданных выражений, то они унифицируемы, а группа полученных подстановок является НОУ.

В приведенном примере третий терм в одном случае z, а в другом – f(z), первое условие выполняется, а второе – нарушается. Поэтому подстановка недопустима. Если в группе предикатных выражений остается хотя бы одно такое, для которого никакими подстановками нельзя получить совпадения с другими выражениями, такая группа называется неунифицируемой.

Рассмотрим другой пример:

P1 = L(a, x, f(g(y))),

P2 = L(z, f(z), f(u)).

1. Первые несовпадающие члены: {a, z}.

Подстановка: a/z. Имеем:

P1 = L(a, x, f(g(y))),

P2 = L(a, f(a), f(u)).

2. Первые несовпадающие элементы {x, f(a)}. Подстановка: [f(a)/x]. Имеем:

P1 = L(a, f(a), f(g(y))),

P2 = L(a, f(a), f(u)).

3. Первые несовпадающие элементы {g(y), u}. Подстановка: [g(y)/u]. Получаем совпадение. Следовательно, НОУ: [a/z, f(a)/x, g(y)/u].

Алгоритм доказательства

Пусть заданы:

Предикаты

делаются дополнительными с помощью подстановки [a/x]. Суждение о том, становятся ли два выражения дополнительными, выносится:

1. По различию используемых символов.

2. По существованию НОУ для двух выражений, в которых удалены одинаковые символы.

Далее все делается рекуррентно.

Пример 1. Милиция разыскивает всех въехавших в страну, за исключением дипломатов. Шпион въехал в страну. Однако, распознать шпиона может только шпион. Дипломат не является шпионом.

Оценим вывод: среди милиционеров есть шпион.

Воспользуемся следующими предикатами:

Въехал(x): xвъехал в страну.

Дипломат(x): x – дипломат.

Поиск(x, y): xразыскивает y.

Милиционер(x): x– милиционер.

Шпион(x): x– шпион.

Если выразим через эти предикаты посылку и вывод в форме ППФ, то получим:

для всех x, если xне является дипломатом, но въехал в страну, найдется милиционер y, который его разыскивает.

Если существует шпион x, который въехал в страну, и некоторый yразыскивает его, то он сам шпион.

Для всех xсправедливо, что если xявляется шпионом, то он не дипломат.

Заключение:

Существует xтакой, что он является шпионом и милиционером.

Если эти формулы преобразовать в клаузальную нормальную форму, то получим:

Заключение преобразуем в свое отрицание:

и затем в клаузальную форму без квантора общности.

Последующий процесс доказательства имеет вид:

дипломат(а)Úмилиционер(f(а)) [a/x] из 2,4 (9)

милиционер(f(а)) [a/x] из 8,9 (10)

дипломат(а)Úпоиск(f(а),а) [a/x] из 1,4 (11)

поиск(f(а),а) [a/x] из 8,11 (12)

шпион(f(a)) [a/x] из 12,5 (13)

ð [f(a)/x)] из 10 и 14 (15)

Еще одной возможностью метода резолюции является возможность получать конкретные значения переменных, содержащихся в заключении.

4.2.3.3Задачи, использующие равенства

Новые предложения получались до сих пор двумя способами: подстановкой и резолюцией. При резолюции пары предложений, отображаются в новые предложения, а подстановка заменяет терм в предложении другим термом той же синтаксической формы. Иногда возникает необходимость заменить терм равным ему термом, который не является термом, для которого возможна подстановка (подстановочным случаем) в первом терме. Рассмотрим простой пример. Положим f(x, y) = x + y. При сравнении предложений: