Метод Ньютона и его модификации решения систем нелинейных уравнений (стр. 4 из 5)
3.1. УПРОЩЁННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА.
Заменим в расчётных формулах метода Ньютона (2.4), (2.5) матрицу
, зависящую от 
, постоянной матрицы 
. В результате получим расчётные формулы упрощённого метода Ньютона: 
, (3.1) 
. (3.2)Этот метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, если начальное приближение
выбрано достаточно близким к решению 
, причём знаменатель прогрессии 
тем меньше, чем ближе к .По сравнению с методом Ньютона число итераций, необходимое для достижения заданной точности
, существенно возрастает. Тем не менее общие вычислительные затраты могут оказаться меньше. Причины этого состоят в следующем. Во-первых, вычисление матрицы Якоби производится здесь только один раз; во-вторых при использовании упрощённого метода Ньютона (3.1), (3.2) многократно решается система линейных уравнений с фиксированной матрицей 
и различными правыми частями. Это означает, что при решении систем (3.1) методом Гаусса возможно применение LU– разложения матрицы , которое резко уменьшает число операций, необходимых для вычисления 
.3.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
Довольно часто вычисление производных
, являющихся элементами матрицы 
, затруднено или вообще невозможно. В такой ситуации для приближения вычисления производных можно использовать формулы численного дифференцирования.Например, можно использовать следующую конечно-разностную аппроксимацию производной:
.Параметры
- это конечно-разностные шаги.Если в расчётных формулах метода Ньютона (2.4), (2.5) заменить матрицу
аппроксимирующей её матрицей 
с элементами 
, то получим следующий итерационный метод: 
, (3.3) . (3.4)В простейшем варианте этого метода шаги
не зависят от . Отметим, что выбор величины шагов представляет собой не очень простую задачу. С одной стороны, они должны быть достаточно малыми, чтобы матрица хорошо приближала матрицу , с другой стороны, они не могут быть очень малы, та как в этом случае влияние погрешностей вычисления функций 
на погрешность формулы (3.3) численного дифференцирования становится катастрофическим (выполняется вычитание близких приближённых чисел).Следующие три метода можно рассматривать как варианты метода (3.3), (3.4), в которых реализованы специальные подходы к вычислению вектора
. Для того чтобы приведённые ниже рассуждения были формально корректными, в формуле (3.3) положим 
, если оказалось, что 
. Пусть
- фиксированный вектор. Положим 
. Тогда формулы (3.3), (3.4) определяют метод ложного положении, обладающий линейной скоростью сходимости в случае, если вектор и начальное приближённое выбраны достаточно близко к решению. Можно связать задание последовательности
с какой-либо сходящейся к нулю векторной последовательностью, например, с последовательность невязок 
или поправок 
. Так, полагая 
, где j=1,…n, a k=1,2,…, приходим к простейшему методу секущих — обобщению скалярного метода секущих: 
, (3.5)где
,k=1,2,3,… .
Этот метод является двухшаговым и требует задания двух начальных точек
и 
. При п = 1 сходимость метода (3.5) имеет порядок 
. Можно рассчитывать на такую же скорость и в многомерном случае.К методу секущих так же, как и к методу Ньютона, можно применить пошаговую аппроксимацию обратных матриц на основе метода Шульца. Расчетные формулы этой модификации легко выписать, заменив в совокупности формул ААМН (аппроксимаиионный аналог метода Ньютона)
матрицу 
на матрицу 
из (3.5).3.5. МЕТОДСТЕФФЕНСЕНА.
Вычисления по методу Стеффенсена производят по формулам (3.3), (3.4), где
.Замечательно то, что хотя этот метод не требует вычисления производных и в отличие от метода секущих является одношаговым, он, как и метод Ньютона, обладает свойством квадратичной сходимости. Правда, как и в методе Ньютона, его применение затруднено необходимостью выбора хорошего начального приближения.
По-видимому, для решения нелинейных систем вида
метод Стеффенсена чаще кажется лучшим выбором, чем метод секущих или метод ложного положения.Как и в одномерном случае методы секущих и Стеффенсена теряют устойчивость вблизи решения (фактически это происходит при попадании приближения
в область неопределённости решения ). Поэтому при использовании этих методов важно вовремя прекратить выполнение итераций.
Начальное приближение:
Вектор-функция:
Матрица Якоби вектор-функции:
Вычисляем корень по формуле метода Ньютона c точностью
: 
| k |  |  |  |  |  |  |
| 0 | 0 -1 | -0.841 0 | -1.06 0.54 0 -2 | -0.944 -0.255 0 -0.5 | -0.794 -1 | 0.794>  |
| 1 | -0.794 -1 | 0.295 0.63 | -1.821 -0.221 -1.588 -2 | -0.608 0.067 0.482 -0.553 | -0.657 -0.794 | 0.247> |
| 2 | -0.657 -0.794 | 0.058 0.062 | -1.48 0.12 -1.314 -1.588 | -0.633 -0.048 0.524 -0.59 | -0.617 -0.788 | 0.040> |
| 3 | -0.617 -0.788 | -0.0000597 0.011 | -1.441 0.159 -1.234 -1.588 | -0.639 -0.064 0.497 -0.58 | -0.616 -0.788 | 0.001= |
| 4 | -0.616 -0.788 | 0.000522 0.0004 | -1.434 0.166 -1.232 -1.576 | -0.639 -0.067 0.5 -0.582 | -0.616 -0.788 | 0< |
Ответ:
