Исследование структурной надежности методом статистического моделирования (стр. 3 из 14)

В случае независимых путей операция символического умножения совпадает с обычным умножением и выражение (1.6) дает коэффициент простоя системы, состоящей из параллельно включенных элементов. В общем случае необходимость учета общих элементов путей заставляет производить умножение согласно (1.6) в алгебраическом виде. При этом число членов в результирующей формуле с умножением на каждый очередной двучлен удваивается и окончательный результат будет иметь 2r членов, что эквивалентно полному перебору совокупности всех r путей. Например, при r = 10 число членов в окончательной формуле превысит 1000, что уже выходит за рамки ручного счета. С дальнейшим увеличением числа путей довольно быстро исчерпываются и возможности современных ЭВМ.

Однако свойства введенной выше операции символического умножения позволяют существенно сократить трудоемкость расчетов. Рассмотрим эти свойства более подробно. Согласно операции символического умножения для показателя надежности pi любого элемента справедливо следующее правило:

pi ¤ pi = pi (1.7)

Напомним, что второй сомножитель (1.7) имеет смысл вероятности исправной работы i-го элемента при условии его исправности, которая, очевидно, равна единице.

Для сокращения дальнейших выкладок введем следующее обозначение ненадежности i-го элемента:

(1.8)

С учетом (1.7) и (1.8) можно записать следующие простые правила преобразования выражений:

1.

;

2.

;

;(1.9)

3.

;

4.

;

5.

;

Для примера использования этих правил при расчете надежности рассмотрим простейшую сеть связи, изображенную на рисунке 1.3. Буквы, стоящие у ребер графа, обозначают показатели надежности соответствующих линий связи. Узлы для простоты будем считать идеально надежными. Предположим, что для связи между узлами А и В можно использовать все пути, состоящие из трех и менее последовательно включенных линий, то есть следует учесть подмножество путей {μ} = { ab, cdf, cgb, ahf }. Определим приращение надежности, обеспечиваемое каждым последующим путем, по формуле (1.4) с учетом (1.6):

∆

,(1.10)

где

аналогично (1.8).

Рисунок.1.3 - Пример сети расчета на ограниченном подмножестве путей

Рисунок 1.4 - Пример сети для расчета надежности по полной совокупности путей

Применяя последовательно формулу (1.10) и правила символического умножения (1.9) к рассматриваемой сети, получаем:

∆

;

∆

;

∆

;

∆

.

При расчете последнего приращения мы использовали правило 4, которое можно назвать правилом поглощения длинных цепей короткими; в данном случае его применение дает b ¤ cgb = b. Если разрешено использование других путей, например пути cdhb, то не представляет труда рассчитать обеспечиваемое им приращение надежности ∆

. Результирующую надежность сети можно теперь вычислить как сумму приращений, обеспечиваемых каждым из рассмотренных путей:

HR =

∆Hi (1.11)

Так, для рассмотренного примера в предположении, что надежность всех элементов сети одинакова, то есть a = b = c = d = f = h = g = p, получаем:

.

При машинной реализации в основу расчета можно также положить формулу (1.5) ,с учетом того, что

∆

.(1.12)

Таким образом, окончательное выражение, согласно формуле (1.5), можно записать в виде следующего рекуррентного соотношения:

. (1.13)

При начальном условии

, на каждом последующем шаге из полученного ранее выражения для следует вычесть произведение надежности очередного пути на это же выражение, в котором показатели надежности всех элементов, входящих в путь , нужно положить равными единице.

В качестве примера рассчитаем надежность сети, изображенной на рисунке 1.4, относительно узлов А и В, между которыми имеется 11 возможных путей передачи информации. Все расчеты сведены в таблицу 1.1: перечень элементов, входящих в каждый путь, результат умножения надежности данного пути на значение Qr, полученное при рассмотрении всех предыдущих путей, и результат упрощения содержимого третьего столбца по правилам (1.9). Окончательная формула для

содержится в последней колонке, если ее читать сверху вниз.

Таблица 1.1 Результаты расчета надежности сети, изображенной на рисунке 1.4

Номер Пути
1						-
2						-
3
4
5				-
6				- - -
7				- - -
8				- - - -
9				- - - - -
10				- - - - -
11				- - - -

Для уменьшения объема вычислений не следует без необходимости раскрывать скобки; если промежуточный результат допускает упрощения (приведение подобных членов, вынесение за скобку общего множителя и так далее), их следует выполнить.