< ссылка на атрибут кортежа >
:: = <имя переменной кортежа>.<ссылка на атрибут>[ AS<имя атрибута>]
Параметр <ссылка на атрибут кортежа > может использоваться как параметр < выражение>, но только в определенном контексте, а именно:
- как операнд параметра <логическое выражение >;
- как параметр <прототип кортежа > или как (операнд) подпараметр <выражение> в параметре <прототип кортежа>.
< логическое выражение >
:: = … все обычные возможности вместе с:
|<логическое выражение с квантором>
Ссылки на переменные кортежей в значении параметра < логическое выражение > могут быть свободными в пределах этого параметра тогда и только тогда, когда выполнено два следующих условия.
- Параметр < логическое выражение> расположен непосредственно после параметра < реляционная операция> (т.е. параметр < логическое выражение > следует сразу за ключевым словом WHERE.).
- Ссылка (обязательно свободная) именно на эту переменную кортежа непосредственно присутствуют в значении параметра <прототип кортежа>, непосредственно содержащегося в том же выражении <реляционная операция>(т.е. параметр <прототип кортежа> располагается непосредственно перед ключевым словом WHERE).
Замечание по терминологии. В контексте реляционного исчисления (в версии исчисления доменов или исчисления кортежей) логические выражения часто называют правильно построенными формулами (well-formedformulas – WFF, что произносится как « вэфф»). Далее мы также будем часто пользоваться этой терминологией.
< логическое выражение с квантором>
:: = EXISTS < имя переменной кортежа >(< логическое выражение >)
| FORALL <имя переменной кортежа > (< логическое выражение >)
< реляционная операция >
:: = < прототип кортежа > [ WHERE < логическое выражение >]
В реляционной алгебре параметр < реляционная операция > представлял собой одну из форм параметра <реляционное выражение>, однако здесь он определяется иначе. Другие формы параметра < реляционное выражение > (в основном, имена переменных – отношений и обращение к операторам выбора) допустимы, как и ранее.
< прототип кортежа >
:: = < выражение кортежа>
Все ссылки на переменные кортежа, помещенные непосредственно в значение параметра <прототип кортежа>, должны быть свободными в пределах данного параметра < прототип кортежа>.
Замечание. Прототип кортежа – термин удачный, но не стандартный.
2.2. Переменные кортежей.
Приведём несколько примеров определения переменных кортежей (выраженных в контексте базы данных поставщиков и деталей).
RANGEVAR SX RANGES OVER S;
RANGEVAR SY RANGES OVER S;
RANGEVAR SPX RANGES OVER SP;
RANGEVAR SPY RANGES OVER SP;
RANGEVAR PX RANGES OVER P;
RANGEVAR SU RANGES OVER
(SX WHERE SX.CITY=’London’)
(SX WHERE EXISTS SPX (SPX.S# = SX.S# AND
SPX.P# SPX = P# (‘P1’) ) );
Переменная кортежа SU из последнего примера определена на объединении множества кортежей поставщиков детали с номером ‘P1’. Обратите внимание, что в определении переменной кортежа SU используются переменные кортежей SX и SPX. Также обратите внимание на то, что в подобных определениях переменных, построенных на объединении отношений, объединяемые отношения, безусловно, должны быть совместимы по типу.
Замечание. Переменные кортежей не являются переменными в обычном смысле (как в языках программирования); они являются переменными в логическом смысле.
2.3. Свободные и связанные переменные кортежей.
Каждая ссылка на переменную кортежа (в некотором контексте, в частности в формуле WFF) является или свободной, или связанной. Сначала поясним это утверждение в чисто синтаксических терминах, а затем перейдем к обсуждению его смысла.
Пусть V – переменная кортежа. Тогда имеем следующее.
- Ссылки на переменную V в формулах WFF типа NOTp свободны или связаны в пределах этой формулы в зависимости от того, свободны ли они в формуле p.Ссылки на переменную V в формулах WFF типа (pANDq) и (pORq) свободны или связаны в зависимости от того, свободны ли они в формулах p и q.
- Ссылки на переменную V, которые свободны в формуле WFFp, связаны в формулах WFF типа EXISTSV(p) и FORALLV(p). Другие ссылки на переменные кортежей в формуле p будут свободны или связаны в формулах WFF типа EXISTSV(p) и FORALLV(p) в соответствии с тем, свободны ли они в формуле p.
Для полноты необходимо добавить следующие замечания.
- Единственная ссылка на переменную V в значении параметра <имя переменной кортежа> является свободной в пределах этого параметра <имя переменной кортежа>.
- Единственная ссылка на переменную V в значении параметра <ссылка на атрибут кортежа> V.A является свободной в пределах этого параметра <ссылка на атрибут кортежа>.
- Если ссылка на переменную V является свободной в некотором выражении exp, то эта ссылка будет также свободной в любом выражении exp’, непосредственно содержащем выражение exp как подвыражение, если только в выражении exp’ не вводится квантор, связывающий переменную V.
Приведём несколько примеров формул WFF, содержащих переменные
кортежей.
- Простые сравнения
SX.S# = S# (‘S1’)
SX.S# = SPX.S#
SPX.P# ≠PX.P#
Здесь все ссылки на переменные SX, PX и SPX являются свободными.
- Логические выражения из простых сравнений
PX.WEIGHT < WEIGHT (15.5) OR PX.CITY = ‘Rome’
NOT (SX.CITY = ‘London’)
SX.S# = SPX.S# AND SPX.P# ≠ PX.P#
PX.COLOR = COLOR (‘Red’) OR PX.CITY = ‘London’
Здесь также все ссылки на переменные SX,PX и SPX являются свободными.
- Формулы WFF с кванторами
EXISTS SPX (SPX.S# = SX.S# AND SPX.P# = P# (‘P2’) )
FORALL PX (PX.COLOR = COLOR (‘Red’) )
В этих примерах ссылки на переменные SPX и PX являются связанными, а ссылка на переменную SX является свободной. Подробнее данные примеры объясняются ниже.
2.4. Кванторы.
Существуют два квантора: EXISTS и FORALL. Квантор EXISTS является квантором существования, а FORALL─ квантором всеобщности. По сути, если выражение p ─ формула WFF, в которой переменная V свободна, то выражения
EXISTS V (p)
и
FORALL V (p)
также являются допустимыми формулами WFF, но переменная V в них обеих будет связанной. Первая формула означает следующее: «Существует по крайней мере одно значение переменной V, такое, что вычисление формулы p даёт для него значение истина». Вторая формула означает следующее: «Для всех значений переменной V вычисление формулы p даёт значение истина». Предположим, например, что переменная V изменяется на множестве «Члены сената США в 1999 году», и предположим также, что выражение p ─ следующая формула WFF: «V ─ женщина» (разумеется, здесь не пытаемся использовать формальный синтаксис). Тогда выражение EXISTSV(p) будет допустимой формулой WFF, имеющей значение истина (true); выражение FORALLV(p) также будет допустимой формулой WFF, но вычисление его значения будет давать значение ложь (false).
Теперь рассмотрим квантор существования EXISTS более внимательно. Ещё раз обратимся к примеру из предыдущего раздела.
EXISTSSPX (SPX.S# = SX.S# ANDSPX.P# = P# (‘P2’) )
Из приведённых ранее рассуждений следует, что эта формула WFF может быть прочитана следующим образом.
В текущем значении отношения SP существует кортеж (скажем, SPX), такой, для которого значение атрибута S# в этом кортеже равно значению атрибута SX.S# (какое бы оно ни было), а значение атрибута P# в кортеже SPX равно ‘P2’.
Каждая ссылка на переменную SPX в этом примере является связанной. Единственная ссылка на переменную SX свободна.
Формально квантор существования EXISTS определяется как повторение операции OR (ИЛИ). Другими словами, если r ─ это отношение с кортежами t1, t2, … , tm, V ─ это переменная кортежа, изменяющаяся на данном отношении, и p(V) ─ это формула WFF, в которой переменная V используется как свободная переменная, то формула WFF вида
EXISTSV (p (V))
равносильна следующей формуле WFF.
false OR p (t1) OR … OR p (tm)
В частности, обратите внимание, что если отношение R пустое (т.е. m=0), то результатом вычисления данного выражения будет значение ложь.
Рассмотрим в качестве примера отношение r, содержащее следующие кортежи.
(1, 2, 3)
(1, 2, 4)
(1, 3, 4)
Для простоты предположим, что три атрибута, идущие по порядку слева направо, имеют имена A, B и Cсоответственно и каждый из этих атрибутов имеет тип INTEGER. Тогда приведённые ниже выражения будут иметь указанные значения.
EXISTS V (V.C>1) : true
EXISTS V (V.B>3) : false
EXISTS V (V.A>1 OR V.C = 4) : true
Теперь рассмотрим квантор общности FORALL, для чего вернёмся к соответствующему примеру из предыдущего раздела.
FORALL PX (PX.COLOR = COLOR (‘Red’) )
Эта формула WFF может быть прочитана следующим образом.
В текущем значении отношения P для всех кортежей (скажем, PX) значение их атрибута COLOR равно ‘Red’.
Обе ссылки на переменную PX в этом примере связаны.
Подобно тому, как квантор EXISTS был определён как повторение операции OR, квантор существования FORALL определяется как повторяющаяся операция AND (И). Другими словами, если обозначения r, V и p(V) имеют тот жесмысл, что и в приведённом выше определении квантора EXISTS, то формула WFF вида
FORALLV (p (V) )
равносильна следующей формуле WFF.
true AND p (t1) AND … ANDp (tm)
В частности, обратите внимание, что если отношение r пустое, то результатом вычисления данного выражения будет значение истина.
В качестве примера рассмотрим отношение R, содержащее те же кортежи, что и в предыдущем примере. Тогда приведённые ниже выражения будут иметь указанные значения.
FORALL V (V.A>1) : false
FORALL V (V.B>1) : true
FORALL V (V.A = 1 and V.C>2) : true
Замечание. Квантор FORALL включён в реляционное исчисление просто для удобства. Он не является необходимым, так как приведённое ниже тождество показывает, что любая формула WFF, использующая квантор FORALL, всегда может быть заменена эквивалентной формулой WFF, использующей квантор EXISTS.
FORALL V (p) ≡ NOT EXISTS V (NOT p)
(Проще говоря, выражение «все значения V, удовлетворяющие формуле p» ─ это то же самое, что и выражение «нет таких значений V, которые бы не удовлетворяли формуле p».)