Алгоритмы генерации магических квадратов (стр. 5 из 5)
ГНВЕП ЛТООА ДРНЕВ ТЕЬИО РПОТМ БЧМОР СОЫЬИ
Для обеспечения дополнительной скрытности можно повторно зашифровать сообщение, которое уже прошло шифрование. Такой метод шифрования называется двойной перестановкой. В случае двойной перестановки столбцов и строк таблицы перестановки определяются отдельно для столбцов и отдельно для строк. Сначала в таблицу записывается текст сообщения, а потом поочередно переставляются столбцы, а затем строки. При расшифровании порядок перестановок должен быть обратным. Пример выполнения шифрования методом двойной перестановки показан на рисунке ниже. Если считывать шифртекст из правой таблицы построчно блоками по четыре буквы, то получится следующее:
ТЮАЕ ООГМ РЛИП ОЬСВ
Ключом к шифру двойной перестановки служит последовательность номеров столбцов и номеров строк исходной таблицы (в нашем примере последовательности 4132 и 3142 соответственно).
Пример выполнения шифрования методом двойной перестановки
Число вариантов двойной перестановки быстро возрастает при увеличении размера таблицы:
• для таблицы 3х3 36 вариантов;
• для таблицы 4х4 576 вариантов;
• для таблицы 5х5 14400 вариантов.
Однако двойная перестановка не отличается высокой стойкостью и сравнительно просто "взламывается" при любом размере таблицы шифрования.
Применение магических квадратов
В средние века для шифрования перестановкой применялись и магические квадраты. Магическими квадратами называют квадратные таблицы с вписанными в их клетки последовательными натуральными числами, начиная от 1, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и каждой диагонали одно и то же число. Шифруемый текст вписывали в магические квадраты в соответствии с нумерацией их клеток. Если затем выписать содержимое такой таблицы по строкам, то получится шифртекст, сформированный благодаря перестановке букв исходного сообщения. В те времена считалось, что созданные с помощью магических квадратов шифртексты охраняет не только ключ, но и магическая сила. Пример магического квадрата и его заполнения сообщением
ПРИЛЕТАЮ ВОСЬМОГО
показан на рисунке ниже.
Пример магического квадрата 4х4 и его заполнения сообщением
ПРИЛЕТАЮ ВОСЬМОГО
Шифртекст, получаемый при считывании содержимого правой таблицы по строкам, имеет вполне загадочный вид:
ОИРМ ЕОСЮ ВТАЬ ЛГОП
Число магических квадратов быстро возрастает с увеличением размера квадрата. Существует только один магический квадрат размером 3х3 (если не учитывать его повороты). Количество магических квадратов 4х4 составляет уже 880, а количество магических квадратов 5х5 - около 250000.
Список литературы
1. Болл У., Коксетер Г. «Математические эссе и развлечения» - М.: Мир, 1986 г.
2. Гуревич Е.Я. «Тайна древнего талисмана» - М.: Наука, 1969 г.
3. Кроули А. «777. Каббала Алистера Кроули» - М.: ОДДИ-Стиль, 2003 г.
4. Оре О. «Приглашение в теорию чисел» - М.: Наука, 1980 г.
5. Петровец Т.Г., Ю.В.Садомова «Энциклопедия мировой живописи» - М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2000 г.
6. Постников M.М. «Магические квадраты» - М.: Наука, 1964 г.
7. Санаров А.В. «Магия талисманов. Практическое пособие» - М.: Велигор, 2002 г.
8. Abe G. «Unsolved Problems on Magic Squares» Disc. Math. 127, 1994 г.
9. Frénicle de Bessy, B. «Des quarrez ou tables magiques. Avec table generale des quarrez magiques de quatre de costé.» В Divers Ouvrages de Mathématique et de Physique, par Messieurs de l'Académie Royale des Sciences (Ред. P. de la Hire). Paris: De l'imprimerie Royale par Jean Anisson, 1693 г.
10. Gardner, M. «Magic Squares and Cubes» Гл. 17 в Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, 1988 г.
11. W.W.Rouse Ball, mathematical recneations and esays, revised by H.M.Coxeter (New york:macmillan,1939.chaapter 7).
12. Морозов В.В. Математические головоломки – М.: Первое сентября, 2001г.
13. М. Гарднер. Математические головоломки и развлечения, - М., Мир,1971г.
14. Б. А. Кордемский. Математическая смекалка, - М.: ТТЛ, 1957г.
15. Д. Кнут Искусство программирования для ЭВМ т.1 Основные алгоритмы - М., Мир, 1976г.