Смекни!
smekni.com

Задач линейного программирования

Цель работы: изучить теорию и методы решения задач линейного программирования; пробрести навыки построения моделей линейного программирования и решения задач линейного программирования на ЭВМ.

Краткие теоретические сведения

Методы линейного программирования (ЛП) оказались весьма эф­фективными для решения задач из различных областей человеческой деятельности. Слово "программирование" понимается как планирование, и это определяет характер рассматриваемых приложений. Основные идеи линейного программирования возникли во время второй мировой войны в связи с поиском оптимальных стратегий при ведении военных операций. С тех пор они нашли широкое применение в промышленно­сти, торговле и в управлении - как в местных, так и в государственных масштабах. Этими методами можно решить многие задачи, связанные с эффективным использованием ограниченных ресурсов.

Пример 1. Фирма производит две модели и В) сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высоко­качественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого из­делия модели А требуется 3 м2 досок, а для изделия модели В - 4 м2. Фирма может получить от своих поставщиков до 1 700 м2 досок в неде­лю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин машинного време­ни, а для изделия модели 5-30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени.

Сколько изделий каждой модели следует фирме выпускать в не­делю, если каждое изделие модели А приносит 2 дол. прибыли, а каждое изделие модели В-А дол. прибыли?

Чтобы сформулировать эту задачу математически, обозначим че­рез х{количество выпущенных за неделю полок модели Л, а через х2-количество выпущенных полок модели В. Задача состоит в том, чтобы найти наилучшие значения х\ и х2. Очевидно, наилучшими для данной задачи являются такие значения, которые максимизируют еженедель­ную прибыль. Еженедельная прибыль составляет

Р = 2x1, + 4x2.

Поскольку х1и х2выражают еженедельный объем выпускаемых изделий, то они не могут быть отрицательны, т.е.

х{ > 0, х2>0 (1)

Теперь ограничения на наличие досок и машинное время могут быть записаны следующим образом: для досок -

Зх1 + 4х2 < 1700 (2)

для машинного времени -

2X1 + 5 х2 < 1600. (3)

Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти значения х1и х2, удовлетворяющие условиям неотрицательности (1) и ограничениям типа неравенства (2) - (3) и максимизирующие функцию Р.

Это типичная двумерная задача линейного программирования. Целевая функция, которая должна быть максимизирована, является линейной функцией своих переменных. Ограничения на эти переменные тоже линейны (1).

Рис. 1 Линия уровня целевой функции и допустимое множество задачи ЛП

Условия неотрицательности позволяют ограничиться рассмотре­нием положительного квадранта. Границы определяются прямыми

3x1 + 4х2 = 1700,

1 + 5х2 = 1 600.

Стрелка на каждой границе указывает, с какой стороны прямой * выполняется ограничение. Заштрихованная область ОАВС, содержащая точки, для которых соблюдены условия (2) и (3), является допустимой. Точки внутри и на границе этой области изображают допустимые решения. Допустимых решений много. Задача состоит в том, чтобы най­ти точку максимума функции Р.

Штриховыми линиями изображены прямые

2x1 + 4x2 =0,

2x1 + 4x2 = 800,

обозначенные а и b соответственно. Эти прямые параллельны и пред­ставляют собой две линии уровня функции Р со значениями 0 и 800. Яс­но, что значение функции Р возрастает по мере того, как линии уровня удаляются от начала координат в положительном квадранте.

ми (2, 4), указывающий направление возрастания функции Р перпенди­кулярен штриховым линиям и направлен в сторону, противоположную началу координат.

Линией уровня с наибольшим значением функции Р имеющей хотя бы одну точку с допустимой областью, является прямая с, прохо­дящая через вершину В; на ней Р принимает значение 1 400. Точка В, в которой х1= 300, х2 = 200, соответствует оптимальному решению зада­чи. Эти значения могут быть получены как решения уравнений.

1 +4х2 =1700,

1 +5х2 =1 600.

Следовательно, максимальная прибыль составляет 2*300 + 4*200 = 1400.

В точке максимума оба ограничения превращаются в равенства, что означает полное использование сырья и машинного времени.

Пример 1 показывает, как возникают задачи линейного програм­мирования на практике и демонстрирует графический метод их решения.

Рассмотренная задача может быть расширена до трех и более ограничений и соответствующего количества неотрицательных перемен­ных. Могут быть введены дополнительные ограничения, связанные с возможностями рынка, упаковкой и т.д. В этом случае задача по-прежнему заключается в максимизации линейной функции от нескольких переменных при линейных ограничениях.

Порядок выполнения работы

Вариант № 2

-2х1 + 3х2 → max

Графический метод:

1) х1 + 2х2

12 2) 3х1 + 2х2

х1 > 0 x2 > 0 х1 > 0 x2 > 0

x1 = 0 x2 = 6 x1 = 0 x2 = 4

x1 = 12 x2 = 0 x1 = 8/3 x2 = 0

3) -2х1 + х2

-8

х1 > 0 x2 > 0

x1 = 0 x2 =-8

x1 = 4 x2 = 0

Таблица 1 – Начальное базисное решение

Базисные переменные

Переменные

Постоянные

х1

х2

х3

х4

х5

х3

х4

х5

с - строка

Опорная точка: х1 = 0, х2 = 0, х3 = 12, х4 = 8, х5 = -8, G = 0.

Таблица 2 – Правило минимальных отношений

№ строки

Базисные переменные

Отношение

1

2

3

Таблица 3 – Сложное базисное решение

Базисные переменные

Переменные

Постоянные

х1

х2

х3

х4

х5

x3

x4

x2

с - строка