Исследование операций и теория систем 2 (стр. 2 из 3)
Ответ: если предприятие будет изготавливать только три вида проволоки 1,2,3 причем 3875/3 км, 2750/3 км, 250 км соответственно, то общая прибыль от реализации изготовляемой продукции будет максимальной и равной 3500(ед).
Задача 2 (№28)
Условие:
С помощью симплекс–таблиц найти решение задачи линейного программирования: определить экстремальное значение целевой функции Q=CTx при условии Ax ³ £B,
где CT = [ c1 c2 . . . c6 ]T , ВT = [ b1 b2 . . . b6 ]T ,
XT = [ x1 x2 . . . x6]T , А= [aij] (i=1,6; j=1,3).
| № вар. | с1 | с2 | с3 | с4 | с5 | с6 | b1 | b2 | b3 | Знаки ограничений | a11 | a12 | a13 | a14 | |||
| 1 | 2 | 3 | |||||||||||||||
| 28 | -6 | 0 | 1 | -1 | -1 | 0 | 8 | 2 | 3 | = | = | = | 4 | 1 | 1 | 2 | |
| № вар. | a15 | a16 | a21 | a22 | a23 | a24 | a25 | a26 | a31 | a32 | a33 | a34 | a35 | a36 | Тип экстрем. |
| 1. 34 | 1 | 0 | 2 | -1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | max |
Решение:
Получим систему:
4 x1 + x2 + x3+2x4 + x5 =8;
2x1 - x2 +x4=2;
x1 + x2+x5=3
L= -6x1+ x3 -x4 -x5 → max
Пусть x2, x4 – свободные переменные, а x1, x3, x5 - базисные переменные. Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:
x5 =2-(1,5x2 -0,5 x4);
x3 =6-(1,5x2 +0,5 x4);
x1=1-(-0,5x2+0,5x4)
L=-2-(3x2- x4) → max
Составим симплекс-таблицу:
Выберем разрешающим столбцом x4,т.к. только перед этой переменной в целевой функции отрицательное число, выберем в качестве разрешающего элемента тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально (это x1). Меняем x4 и x1
b  | x2 | x4 | ||
| L | -2 2 | 3 -1 | -1 2 | |
| x1 | 1 2 | -0,5 -1 | 0,5 2 | 1/0,5=2 |
 | 6 -1 | 1,5 0,5 | 0,5 -1 | 6/0,5=12 |
 | 2 1 | 1,5 -0,5 | -0,5 1 |
| b | x2 | x1 | |
| L | 0 | 2 | 2 |
| x4 | 2 | -1 | 2 |
| | 5 | 2 | -1 |
| | 3 | 1 | 1 |
Получили оптимальное решение, т.к. все коэффициенты положительны.
Итак, x1= x2=0, x3 =5, x4=2, x5 =3, L=0.
Ответ: x1= x2=0, x3 =5, x4=2, x5 =3, L=0.
Задача 3 (№8)
Условие:
Решение транспортной задачи:
1. Записать условия задачи в матричной форме.
2. Определить опорный план задачи.
3. Определить оптимальный план задачи.
4. Проверить решение задачи методом потенциалов.
| №вар. | а1 | а2 | а3 | b1 | b2 | b3 | b4 | b5 | с11 | с12 | с13 |
| 8 | 200 | 200 | 600 | 200 | 300 | 200 | 100 | 200 | 25 | 21 | 20 |
| с14 | с15 | с21 | с22 | с23 | с24 | с25 | с31 | с32 | с33 | с34 | с35 |
| 50 | 18 | 15 | 30 | 32 | 25 | 40 | 23 | 40 | 10 | 12 | 21 |
Решение:
Составим таблицу транспортной задачи. Заполним таблицу методом северо-западного угла:
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | ai | |
| A1 | 25 200 | 21 | 20 | 50 | 18 | 200 |
| A2 | 15 | 30 200 | 32 | 25 | 40 | 200 |
| A3 | 23 | 40 100 | 10 200 | 12 100 | 21 200 | 600 |
| bj | 200 | 300 | 200 | 100 | 200 | 1000 |
Количество заполненных ячеек r=m+n-1=6.
Проверим сумму по столбцам, сумму по строкам и количество базисных (заполненных) клеток:
r =6, å ai=å bj=1000, всё выполняется, значит, найденный план является опорным.
L=25*200+30*200+40*100+10*200+12*100+21*200=22400
Постараемся улучшить план перевозок.
1) Рассмотрим цикл (1;1)-(1;2)-(2;2)-(2;1)
Подсчитаем цену цикла: j=15-30+21-25=-19<0
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | ai | |
| A1 | 25 | 21 200 | 20 | 50 | 18 | 200 |
| A2 | 15 200 | 30 | 32 | 25 | 40 | 200 |
| A3 | 23 | 40 100 | 10 200 | 12 100 | 21 200 | 600 |
| bj | 200 | 300 | 200 | 100 | 200 | 1000 |
L=21*200+15*200+40*100+10*200+12*100+21*200=18600
2) Рассмотрим цикл (2;1)-(2;2)-(3;2)-(3;1)
j=-15+30+23-40=-2<0
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | ai | |
| A1 | 25 | 21 200 | 20 | 50 | 18 | 200 |
| A2 | 15 100 | 30 100 | 32 | 25 | 40 | 200 |
| A3 | 23 100 | 40 | 10 200 | 12 100 | 21 200 | 600 |
| bj | 200 | 300 | 200 | 100 | 200 | 1000 |
L=21*200+15*100+30*100+23*100+10*200+12*100+21*200=18400
Проверим методом потенциалов:
Примем α1=0, тогда βj = cij – αi (для заполненных клеток).
Если решение верное, то во всех пустых клетках таблицы Δij = cij – (αi+ βj) ≥ 0
Очевидно, что Δij =0 для заполненных клеток.
В результате получим следующую таблицу:
| B1=6 | B2=21 | B3=-7 | B4=-5 | B5=4 | ai | |
| A1=0 | 25-6>0 | 21-21=0 200 | 20+7>0 | 50+5>0 | 18-4>0 | 200 |
| A2=9 | 15-9-6=0 100 | 30-21-9=0 100 | 32-9+7>0 | 25+5-9>0 | 40-4-9>0 | 200 |
| A3=17 | 23-17-6=0 100 | 40-21-17>0 | 10+7-17=0 200 | 12+5-17=0 100 | 21-4-17=0 200 | 600 |
| bj | 200 | 300 | 200 | 100 | 200 | 1000 |
Таким образом, решение верное, т.к. Δij > 0 для всех пустых клеток и Δij =0 для всех заполненных.
Тогда сумма всех перевозок:
L=18400
Ответ:
| B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | ai | |
| A1 | 25 | 21 200 | 20 | 50 | 18 | 200 |
| A2 | 15 100 | 30 100 | 32 | 25 | 40 | 200 |
| A3 | 23 100 | 40 | 10 200 | 12 100 | 21 200 | 600 |
| bj | 200 | 300 | 200 | 100 | 200 | 1000 |
Задача 4 (№53)
Условие:
Определить экстремум целевой функции вида
F = c11x12+c22x22+c12x1x2+b1x1+b2x2
при условиях:
a11x1+a12x2<=>p1
a21x1+a22x2<=>p2.
1. Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки.
2. Составить функцию Лагранжа.
3. Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера.
4. Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования.
5. Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости.
| № | b1 | b2 | c11 | c12 | c22 | extr | a11 | a12 | a21 | a22 | p1 | p2 | Знаки огр. 1 2 | |
| 53 | 6 | 1,5 | -2 | -4 | –1 | max | 2,5 | -1 | 3 | 2,5 | 7 | 13 | ³ | ³ |
Решение:
Целевая функция:
F= -2x12-x22-4x1x2+6x1+1,5x2→max
Ограничения g1(x) и g2(x): 2,5x1-x2³7 2,5x1-x2–7³0
3x1+2,5x2³13 3x1+2,5x2-13³0
1) определим относительный максимум функции, для этого определим стационарную точку (х10, х20):
→2) Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции
F11 (х10, х20) = -4 < 0
F12 (х10, х20)=-4
F21 (х10, х20)=-4
F22 (х10, х20)=-2
F11 F12 -4 -4
F21 F22 -4 -2
Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки
3) Составляем функцию Лагранжа:
L(x,u)=F(x)+u1g1(x)+u2g2(x)=-2x12-x22-4x1x2+6x1+1,5x2+u1 (2,5x1-x2–7)+ u2 (3x1+2,5x2-13).
Получим уравнения седловой точки, применяя теорему Куна-Таккера:
i=1;2Объединим неравенства в систему А, а равенства в систему В:
Система А:
Система В:
Перепишем систему А:
6-4x1-4x2+2,5u1+3u2 <0
1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2 <0
2,5x1-x2–7³0
3x1+2,5x2–13³0
4)Введем новые переменные
V={v1,v2}≥0; W={w1,w2}≥0
в систему А для того, чтобы неравенства превратить в равенства:
6-4x1-4x2+2,5u1+3u2 + v1=0
1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2 + v2=0
2,5x1-x2–7- w1=0
3x1+2,5x2–13- w2=0
Тогда
- v1=6-4x1-4x2+2,5u1+3u2
- v2=1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2
w1=2,5x1-x2–7
w2=3x1+2,5x2–13
Следовательно, система В примет вид:
- это условия дополняющей нежесткости.5) Решим систему А с помощью метода искусственных переменных.
Введем переменные Y={y1; y2} в 1 и 2 уравнения системы
6-4x1-4x2+2,5u1+3u2 + v1 -y1=0
1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2 + v2 -y2=0
2,5x1-x2–7- w1=0
3x1+2,5x2–13- w2=0
и создадим псевдоцелевую функцию Y=My1+My2→min
Y’=-Y= -My1-My2→max.
В качестве свободных выберем х1, х2, v1, v2, u1, u2;
а в качестве базисных y1, y2, w1, w2.
Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:
y1=6-(4x1+4x2-2,5u1-3u2 - v1)
y2=1,5-(4x1+2x2+u1-2,5u2 -v2)
w1=-7-(-2,5x1+x2)