Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов (стр. 1 из 2)

Антон Никифоров

Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума

и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида

(1)

Если последовательность {

} при данном r состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что
=f(
),
=f(
), …,
=f(
) или
. Заметим, что производная порядка n функции
(n раз вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной функции равна
.

Точки цикла, удовлетворяющие соотношению

(2)

называются неподвижными.

Величина

(так называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым, если
<1.

n-цикл, содержащий

в качестве одной из своих точек, называются сверхустойчивым. Для такого цикла
=0.

Как было продемонстрировано в 1978 году М.Фейгенбаумом [4], значения параметра

, при которых число устойчивых периодических точек удваивается и становится равным
, удовлетворяют масштабному соотношению, или как говорят имеют скейлинг:

(3)

Данное соотношение встречается также и в следующей записи:

,n>>1 ([1], стр. 49),
(3.1)
Рис.1
Или в таком виде:

Расстояния

от точки
, где
- точка экстремума рассматриваемого отображения (на рис 1. x=1/2), до ближайшей к ней точки на - цикле подчиняются следующему соотношению:

, n>>1
(4)

Константы Фейгенбаума имеют значения

,
и являются ни много ни мало мировыми транцедентными числами, такими как
или e.

Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: все-таки в то время он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным - какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. "волшебные" числа

и
) будет тем же самым.

Алгоритм

Интересно, что точки

также можно использовать для расчета
, этим факт мы и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках
мультипликатор
всегда равен нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов:

(a) Например, для цикла периода два:
, где
, таким образом
(5.1)
(б) Цикл периода четыре:
, где
, таким образом
(5.2)

Для произвольных же

-циклов справедливо выражение:

(6)

Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра

, например, с помощью метода последовательных итераций Ньютона:

(6.1)

Здесь i - номер итерации. Таким образом, весь процесс вычисления, скажем, константы

сводится к нахождению таких значений параметра R, при которых бифуркационная диаграмма пересекает линию
. Для этого необходимо решить уравнение (6), проитерировав его
раз.

НА ВХОД ПОДАЕМ:

Начинаем итерировать функцию f cо следующего значения:

Итерируем производную функции начиная с

Начальные приближения двух значений параметра R:

,

Разумное начальное приближение для постоянной :

НА ВЫХОДЕ ПОЛУЧАЕМ:

А весь процесс может быть описан следующими выражениями:

, n=2,3,4,…

, i=0,1,2,…

Рассмотрим на примерах как выглядят непосредственные вычислительные формулы.

ПРИМЕР 1:

При данном значении функция f будет зависеть только от константы r, обозначим эту функцию как

. Тогда предыдущее уравнение можно будет переписать:


Copyright © MirZnanii.com 2015-2018. All rigths reserved.