Основы фрактального исчисления (стр. 2 из 2)

= C ×d ^n-D. (10)

Элементарные функции. Фрактальный интеграл от степенной функции получается элементарно. Для этого в выражении (10) достаточно переобозначить d на x:

= C × x ^n-D. (11)

Для вычисления фрактального интеграла от экспоненциальной функции экспоненту необходимо разложить в ряд, далее применяя для каждого члена ряда формулу (11), окончательно получаем

. (12)

Видим, что экспонента после фрактального интегрирования приобрела нелинейный множитель. Постоянные интегрирования здесь не выписываем, если судить по дробному интегродифференциальному исчислению [11], вопрос о постоянной интегрирования неоднозначен. Интегрирование от тригонометрических функций продемонстрируем на синусе. Представляя функцию синус в экспоненциальной форме и применяя результат (12), в итоге получаем

В этом выражении легко узнать одно из слагаемых в ряде, представляющей нигде не дифференцируемую функцию Вейерштрасса [1,2].

Фрактальное дифференцирование. Как и в обычном случае, будем считать, что фрактальное дифференцирование - это обратная к интегрированию операция. Таким образом, полагаем, что

.

Теперь легко можно установить правила фрактального дифференцирования элементарных функций. Опуская простые вычисления, приведем результаты:

,

,

.

Фрактальные уравнения. Для описания процессов, происходящих в Природе, используют дифференциальные уравнения - второй закон Ньютона, уравнения Максвелла и т.д. В настоящее время неизвестно, в какой форме должны выглядеть законы движения в форме фрактальных производных. Поэтому приведем некоторые возможные виды фрактальных уравнений и их несложные решения. Именно:

,

,

, .

В этой части фактически завершено построение математического аппарата фрактального исчисления. Дальнейшее развитие должно пойти по пути применения к конкретным задачам, по пути совершенствования технических приемов.

Список литературы

Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991, 254 с.

Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 528 с.

Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 128 с.

Балханов В.К. Введение в теорию фрактального исчисления. - Улан-Удэ.: Изд. Бурятского гос. ун-та, 2001, 58 с.

Топографическая карта, масштаб 1: 200000, лист ¦ 48-XXXV.

CD - диск "ГИС района дельты реки Селенги в пакете ArcView 2.3".

Балханов В.К. Дельта реки Селенга // Математика, вып. 3, 2002. Изд-во Бурятского гос. ун-та, Улан-Удэ. С. 13-18.

Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальные разветвленные структуры. Дельта реки Селенга // Горный информационно - аналитический бюллетень, 2002. N 4. С. 20-23.

Алексеевский Н.И., Соколова Ю.В. Структура сети водотоков в русловых и дельтовых разветвлениях и способы ее формализации // Вестник Московского ун-та, Серия 5, География, ¦ 2, 1999. С.13-19.

Попов Н.А. Исследование пространственной структуры ветвящихся стримерных каналов коронного разряда // Физика плазмы, 2002, том 28, ¦ 7, с. 664-672.

Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.