Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка (стр. 2 из 3)
f(xm+h,ym+hy¢m)=f+hfx+hffy+O(h2),
где снова функция f и ее производные вычисляются в точке xm,ym. Подставляя результат в 1.2 и производя необходимые преобразования, получаем
Ф(xm,ym,h)=f+h/2(fx+ffy)+O(h2).
Подставим полученное выражение в 1.4 и сравним с рядом Тейлора
ym+1=ym+hf+h2/2(fx+ffy)+O(h3).
Как видим, исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2, являясь, таким образом, методом Рунге-Кутты второго порядка.
Рассмотрим модификационный метод Эйлера. Рассмотрим рис.3 где первоначальное построение сделано так же, как и на рис.2. Но на этот раз мы берем точку, лежащую на пересечении этой прямой и ординатой x=x+h/2. На рисунке эта точка образована через Р, а ее ордината равна y=ym+(h/2)y¢m. Вычислим тангенс угла наклона касательной в этой точке
Ф(xm,ym,h)=f+(xm+h/2,ym+h/2*y¢m),1.6
где y¢m=f(xm,ym) 1.7
Прямая с таким наклоном, проходящая через Р, обозначена через L*. Вслед за тем, мы проводим через точку xm,ym прямую параллельную L*, и обозначаем ее через L0. Пересечение этой прямой с ординатой x=xm+h и даст искомую точку xm+1,ym+1. Уравнение прямой можно записать в виде y=ym+(x-xm)Ф(xm,ym,h),
где Ф задается формулой 1.6. Поэтому
ym+1=ym+hФ(xm,ym,h) 1.8
Соотношения 1.6, 1.7, 1.8 описывают так называемый модификационный метод Эйлера и является еще одним методом Рунге-Кутта второго порядка. Обобщим оба метода. Заметим, что оба метода описываются формулами вида
ym+1=ym+hФ(xm,ym,h) 1.9
и в обоих случаях Ф имеет вид
Ф(xm,ym,h)=a1f(xm,ym)+a2f(xm+b1h,ym+b2hy¢m),1.10
где y¢m=f(xm,ym) 1.11
В частности, для исправленного метода Эйлера
a1=a2=1/2;
b1=b2=1.
 |
В то время как для модификационного метода Эйлера
a1=0, a2=1,
b1=b2=1/2.
Формулы 1.9, 1.10, 1.11 описывают некоторый метод типа Рунге-Кутты. Посмотрим, какого порядка метод можно рассчитывать получить в лучшем случае и каковы допустимые значения параметров a1, a2, b1 и b2.
Чтобы получить соответствие ряду Тейлора вплоть до членов степени h, в общем случае достаточно одного параметра. Чтобы получить согласование вплоть до членов степени h2, потребуется еще два параметра, так как необходимо учитывать члены h2fx и h2ffy. Так как у нас имеется всего четыре параметра, три из которых потребуются для создания согласования с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h2, то самое лучшее, на что здесь можно рассчитывать - это метод второго порядка.
В разложении f(x,y) в ряд 1.5 в окрестности точки xm,ym положим x=xm+b1h,
y=ym+b2hf.
Тогдаf(xm+b1h,ym+b2hf)=f+b1hfx+b2hffy+O(h2),где функция и производные в правой части равенства вычислены в точке xm,ym.
Тогда 1.9 можно переписать в виде ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3).
Сравнив эту формулу с разложением в ряд Тейлора, можно переписать в виде
ym+1=ym+h[a1f+a2f+h(a2b1fx+a2b2ffy)]+O(h3).
Если потребовать совпадения членов hf, то a1+a2=1.
Сравнивая члены, содержащие h2fx, получаем a2b1=1/2.
Сравнивая члены, содержащие h2ffy, получаем a2b2=1/2.
Так как мы пришли к трем уравнениям для определения четырех неизвестных, то одно из этих неизвестных можно задать произвольно, исключая, может быть, нуль, в зависимости от того, какой параметр взять в качестве произвольного.
Положим, например, a2=w¹0. тогда a1=1-w, b1=b2=1/2w и соотношения 1.9, 1.10, 1.11 сведутся к
ym+1=ym+h[(1-w)f(xm,ym)+wf(xm+h/2w,ym+h/2wf(xm,ym))]+O(h3) 1.12
Это наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка. При w=1/2 мы получаем исправленный метод Эйлера, при w=1 получаем модификационный метод Эйлера. Для всех w, отличных от нуля, ошибка ограничения равна
et=kh31.13
Методы Рунге-Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому, как это делалось при выводе методов первого и второго порядков. Мы не будем воспроизводить выкладки, а ограничимся тем, что приведем формулы, описывающие метод четвертого порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений. Этот классический метод Рунге-Кутта описывается системой следующих пяти соотношений
ym+1=ym+h/6(R1+2R2+2R3+R4) 1.14
где R1=f(xm,ym),1.15
R2=f(xm+h/2,ym+hR1/2),1.16
R3=f(xm+h/2,ym+hR2/2),1.17
R4=f(xm+h/2,ym+hR3/2). 1.18
Ошибка ограничения для этого метода равна et=kh5
так что формулы 1.14-1.18 описывают метод четвертого порядка. Заметим, что при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза.
3. Выбор метода реализации программы
Исходя из вышеизложенного, для решения систем дифференциальных уравнений мы выбираем наиболее точный метод решения – метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений.
этот метод является одноступенчатым и одношаговым
требует информацию только об одной точке
имеет небольшую погрешность
значение функции рассчитывается при каждом шаге
4. Блок-схема программмы
 |
 |
 |
Основная программа 
Процедура INITВход
 |
f1,C[1],C[2],C[3]
f1,k1,k2,k3,k4
f1,Xn,Xk,dp,n,eps,p
 |
выход
 |
5. Программа
PROGRAM smith_04;USES crt; VAR i,n:integer; sum,k1,k2,k3,k4,p,dp,eps,Xn,Xk,X,dX:real; rSR,C,dC,r1,r2,r3,r4,cPR:array[1..3] of real;
f1,f2:text;
PROCEDURE Difur;
BEGIN
dC[1]:=C[3]*k2+C[2]*k4-C[1]*k1-C[1]*k3; {dcA}
dC[2]:=C[1]*k3-C[2]*k4; {dcB}
dC[3]:=C[1]*k1-C[3]*k2; {dcC}
END;
PROCEDURE RK_4;
BEGIN
Difur;
FOR i:=1 TO n DO BEGIN
r1[i]:=dC[i];
C[i]:=cPR[i]+r1[i]*(dX/2);
END;
Difur;
FOR i:=1 TO n DO BEGIN
r2[i]:=dC[i];
C[i]:=cPr[i]+r2[i]*(dX/2);
END;
Difur;
FOR i:=1 TO n DO BEGIN
r3[i]:=dC[i];
C[i]:=cPR[I]+r3[i]*dX;
END;
Difur;
FOR i:=1 TO n DO r4[i]:=dC[i];
FOR i:=1 TO n DO rSR[i]:=((r1[i]+r2[i])*(r2[i]+r3[i])*(r3[i]+r4[i]))/6;
END;
PROCEDURE STROKA;
BEGIN
WRITE(f2,'|',x:4:1,'|',c[1]:7:3,'|',c[2]:7:3,'|',c[3]:7:3,'|');
WRITE(f2,sum:3:0,'|',dc[1]:7:3,'|',dc[2]:7:3,'|',dc[3]:7:3,'|');
WRITELN(f2);
END;
PROCEDURE RUN;
BEGIN
WRITE('Step 3: Calculating data and writting results to file : out.rez');
X:=Xn;
dX:=0.05;
REPEAT
IF (ABS(x-p)<eps) THEN BEGIN
Difur;
sum:=C[1]+C[2]+C[3];
STROKA;
p:=p+dp; END;
FOR i:=1 TO n DO Cpr[i]:=C[i];
RK_4;
X:=X+dX;
UNTIL(X>Xk);
WRITELN(' - done.');
END;
PROCEDURE INIT;
BEGIN
ClrScr;
WRITELN('Smith-04: v1.0 (c) 1998 by Mike Smith smith01@home.bar.ru ');
WRITELN;
WRITELN;
WRITE('Step 1: Read data from file : in.dat');
ASSIGN(f1,'in.dat');
RESET(f1);
READLN(f1,C[1],C[2],C[3]);
READLN(f1,k1,k2,k3,k4);
READLN(f1,Xn,Xk,dp,n,eps,p);
WRITELN(' - done.');
ASSIGN(f2,'out.rez');
REWRITE(f2);
WRITE('Step 2: Write header to file : out.rez');
WRITELN(f2,'');
WRITELN(f2,'| t,c| Ca,% | Cb,%| Cc,% | SUM | dCa | dCb | dCc |');
WRITELN(f2,'=');
WRITELN(' - done.');
END;
PROCEDURE DONE;
BEGIN
WRITELN('Step 4: Close all files and exiting...');
CLOSE(f1);
WRITELN(f2,'=');
CLOSE(f2);
WRITELN;
END;
BEGIN
INIT;
RUN;
DONE;
END.
6. Идентификация переменных
Таблица 1
7. Результаты расчета
Таблица 2
8. Обсуждение результатов расчета.
В результате расчета кинетической схемы процесса на языке Паскаль методом Рунге-Кутты, были получены результаты зависимости изменения концентрации реагирующих веществ во времени. Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что расчет произведен верно, так как, исходя из полученных значений скоростей реакций можно сделать вывод, что соблюдается баланс скоростей химической реакции.
Рассмотрим процесс подробнее. Вещество А на протяжении всего процесса расходуется на образование веществ В и С. Концентрации вещества А в начальный момент времени расходуется быстрее, чем концентрации его же в конце процесса. Это обусловлено тем, что скорость химической реакции зависит от концентрации реагирующего вещества. Производная имеет знак «минус». Это говорит о том, что вещество расходуется. Следовательно, чем выше концентрация вещества, вступающего в процесс, тем выше скорость его реагирования с другими веществами. Вещества В и С образуются пропорционально, так как, исходя из кинетической схемы процесса и значений констант скоростей химической реакции, видно, что образование этих веществ и расходование этих веществ, одинаково. Производная имеет знак «плюс». Это говорит о том, что вещество образуется.