Некоторые главы мат. анализа (стр. 4 из 7)
. . . . . . . . . .
Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:
,где
и разлагаемая функция должна быть представлена на отрезке от -1 до 1.Преобразование функции
Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):
т. к. она расположена на промежутке от 0 до
необходимо произвести замену, которая поместит функцию на промежуток от -1 до 1.Замена:
и тогда F(t) примет вид
или
Вычисление коэффициентов ряда
Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:
Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:
Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно
- слагаемое: 
А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):
Рис. 5
т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.
Вывод:
На основе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданной функции достигается при разложении функции в ряд.
ГЛАВА 5 ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Прямое преобразование
Для того, чтобы произвести прямое преобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично. Поэтому разбиваем отрезок от 0 до
на N=8 частей, так чтобы приращение: 
В нашем случае
, и значения функции в k-ых точках будет: 
для нашего случая
(т.к. a=0).Составим табличную функцию:
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
 | 0 | 0.785 | 1.571 | 2.356 | 3.142 | 3.927 | 4.712 | 5.498 |
 | 0 | 0.707 | 1 | 0.707 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Табл. 1
Прямым дискретным преобразованием Фурье вектора
называется 
. Поэтому найдем : 
, n=0,1,...,N-1 
Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю).
Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию:
зная,
, где 
, где 
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
 | 2,4 | 2 | 1 | 0 | 0.4 | 0 | 1 | 2 |
 | 0.318 | 0.25 | 0.106 | 0 | 0.021 | 0 | 0.009 | 0 |
Табл. 2
Амплитудный спектр
Обратное преобразование
Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование- есть функция :
В нашем случаи это:
А теперь найдем модули
и составим таблицу по обратным дискретным преобразованиям: 
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| | 0 | 0.785 | 1.571 | 2.356 | 3.142 | 3.927 | 4.712 | 5.498 |
| | 0 | 0.707 | 1 | 0.707 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| | 0 | 0.708 | 1 | 0.707 | 8e-4 | 5e-5 | 5e-4 | 3e-4 |
Табл. 3
Из приведенной таблицы видно, что
приближенно равно .Построим графики используя табл.3, где
- это F(k), а - это f(k) рис. 6 : 
Рис. 6
Вывод:
На основе проделанных расчетов можно заключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно.