Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности (стр. 2 из 4)

(1.7) min Z= C*X*,

(1.8)

=C*

—C£0,

где С* = (C*₁, C*₂, …, C*_m),С = (C₁, C₂, …, C_m, C_m+1, …, C_n), a

= (C*X₁– C₁; С*Х₂ - С₂, ..., C*X_n – C_n) = (Z₁ –С₁; Z₂ - C₂; ..., Z_n — C_n) — вектор, компоненты которого неположительны, так как они совпадают с Z_j — C_j£ 0, соответствующими оптимальному плану.

Оптимальный план исходной задачи имеет вид X*=D^-1А₀, поэтому оптимальный план двойственной задачи ищем в виде

(1.9) Y*=C*D^-1.

Покажем, что Y* действительно план двойственной задачи. Для этого ограничения (1.2) запишем в виде неравенства YA— С £ 0, в левую часть которого подставим Y*. Тогда на основании (1.9), (1.5) и (1.8) получим

Y* А – С=С* D^-1А – С=С*

- С£0,

откуда находим Y*A £ С.

Так как Y* удовлетворяет ограничениям (1.2), то это и есть план двойственной задачи. При этом плане значение линейной функции двойственной задачи f(Y*) = Y*A₀. Учитывая соотношения (1.9), (1.6) и (1.7), имеем

(1.10) f(Y*) = Y*A₀ = C*D^-1A₀=C*X*=minZ(X).

Таким образом, значение линейной функции двойственной задачи от Y* численно равно минимальному значению линейной функции исходной задачи.

Докажем теперь, что Y* является оптимальным планом. Умножим (1.1) на любой план Y двойственной задачи, а (1.2) — на любой план X исходной задачи: YAX=YA₀=f (Y), YAX£СХ = Z (X), отсюда следует, что для любых планов Х и Y выполняется неравенство

(1.11) f (Y)£Z (X).

Этим же соотношением связаны и экстремальные значения max f (Y)£min Z (Х).Из последнего неравенства заключаем, что максимальное значение линейной функции достигается только в случае, еслиmax f (Y) = min Z (X), но это значение [см. (1.10)]f (Y)достигает при плане Y*, следовательно, план Y* — оптимальный план двойственнойзадачи.

Аналогично можно доказать, что если двойственная задача имеет решение, то исходная также обладает решением и имеет место соотношение max f (Y) = min Z (X).

Для доказательства второй части теоремы допустим, что линейная функция исходной задачи не ограничена снизу. Тогда из (1.11) следует, что f (Y) £ -¥ . Это выражение лишено смысла, следовательно, двойственная задача не имеет решений.

Аналогично предположим, что линейная функция двойственной задачи не ограничена сверху. Тогда из (1.11) получаем, что Z (X)³ +¥. Это выражение также лишено смысла, поэтому исходная задача не имеет решений.

Доказанная теорема позволяет при решении одной из двойственных задач находить оптимальный план другой.

Исходная задача. Найти минимальное значение линейной функции Z = x₂ – x₄ – 3x₅при ограничениях

x₁ + 2x₂ - x₄ + x₅ = 1,

- 4x₂ + x₃ + 2x₄ – x₅ = 2, x_ij³ 0 (j = 1, 2, …, 6)

3x₂ + x₅ + x₆ = 5,

Здесь матрица-строка С = (0;. 1; 0; —1; — 3, 0), матрица-столбец

1 1 2 0 -1 1 0

A₀ = 2 A = 0 -4 1 2 -1 0

3 0 3 0 0 1 1

1 0 0

2 -4 3

A’’ = 0 1 0

-1 2 0

1 -1 0

0 0 1

Двойственная задача. Найти максимальное значение линейной функции f = y₁ + 2y₂ +5y₃ при ограничениях

y₁£ 0,

2y₁ – 4y₂ + 3y₃£ 1,

y₂£ 0,

-y₁ + 2y₂£ -1,

y₁ – y₂ + y₃£ -3,

y₃£ 0.

Решение исходной задачи находим симплексным методом (табл. 1.2).

i	Базис	С базиса	A0	0	1	0	-1	-3	0
				A1	A2	A3	A4	A5	A6
1 2 3	A1 A3 A6	0 0 0	1 2 5	1 0 0	2 -4 3	0 1 0	-1 2 0	1 -1 1	0 0 1
m + 1	Zi - Cj		0	0	-1	0	1	3	0
1 2 3	A5 A3 A6	-3 0 0	1 3 4	1 1 -1	2 -2 1	0 1 0	-1 1 1	1 0 0	0 0 1
m + 1	Zi - Cj		-3	-3	-7	0	4	0	0
1 2 3	A5 A4 A6	-3 -1 0	4 3 1	2 1 -2	0 -2 3	1 1 -1	0 1 0	1 0 0	0 0 1
m + 1	Zi - Cj		-15	-7	1	-4	0	0	0
1 2 3	A5 A4 A2	-3 -1 1	4 11/3 1/3	3 -1/3 -2/3	0 0 1	1 1/3 -1/3	0 1 0	1 0 0	0 2/3 1/3
m + 1	Zi - Cj		-46/3	-19/3	0	-11/3	0	0	-1/3

Оптимальный план исходной задачи X* =(0; 1/3; 0; 11/3; 4; 0), при котором Z_min = - 46/3, получен в четвертой итерации табл. 1.2. Используя эту итерацию, найдем оптимальный план двойственнойзадачи. Согласно теореме двойственности оптимальный план двойственной задачи находится из соотношения Y* = C*D^-1, где матрица D^-1 - матрица, обратная матрице, составленной из компонент векторов, входящих в последний базис, при котором получен оптимальный план исходной задачи. В последний базис входят векторы A₅, A₄, A₂; значит,

1 -1 2

D = (A₅, A₄, A₂)= -1 2 -4

1 0 3

Обратная матрица D^-1 образована из коэффициентов, стоящих в столбцах A₁, A₃, A₆ четвертой итерации:

2 1 0

D^-1 = -1/3 1/3 2/3

-2/3 -1/3 1/3

Из этой же итерации следует С* = (— 3; —1; 1). Таким образом

2 1 0

Y = С*D^-1= (-3; -1; 1) · -1/3 1/3 2/3

-2/3 -1/3 1/3

Y*=(-19/3; -11/3; -1/3),

т. е. y_i= С*Х_i, где Х_i — коэффициенты разложения последней итерации, стоящие в столбцах векторов первоначального единичного базиса.

Итак, i-ю двойственную переменную можно получить из значения оценки (m + 1)-й строки, стоящей против соответствующего вектора, входившего в первоначальный единичный базиc, если к ней прибавить соответствующее значение коэффициента линейной функции:

у₁ = — 19/3 + 0 = — 19/3; y₂= -11/3 + 0 = -11/3; у₃= -1/3+0 = -1/3. При этом плане max f = -46/3.

3. Симметричные двойственные задачи

Разновидностью двойственных задач линейного , программирования являются двойственные симметричные задачи, в которых система ограничений как исходной, так и двойственной задач задается неравенствами, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.

Исходная задача. Найти матрицу-столбец Х = (x₁, x₂, …, x_n), которая удовлетворяет системе ограничений

(1.12). АХ>А₀, Х>0

и минимизирует линейнуюфункцию Z = СХ.