Простейшие построения
61. Постройте угол, который на 25 % меньше данного угла.
62. Постройте угол, который вдвое меньше разности двух
данных углов.
63. Опустите из данной точки перпендикуляр на данную
прямую с помощью шаблона острого угла.
64. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки и циркуля постоянного раствора, меньшего половины длины отрезка.
65. Разделите данный отрезок на 8 равных частей с помощью шаблона острого угла.
Построения с помощью циркуля и линейки
66. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне .и медиане, проведенной к этой стороне.
67. Постройте треугольник по основанию, углу при основании я сумме боковых сторон.
68. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведенной к основанию, и высоте, проведенной к боковой стороне.
69. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности двух других .'сторон.
70. Ввв 'отрезка АВ построены такие точки С и О, что АС == == ВС и АВ == ВВ. Верно ли, что прямая СВ перпендикуляр на АВ? Как воспользоваться этой задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя построение в одной полуплоскости?
71. Точки А и В находятся на сторонах угла. Построить
отрезок, перпендикулярный АВ и имеющий середину на А1, а концы на сторонах угла.
72. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.
73. Постройте треугольник по основанию, углу при основании и разности боковых сторон.
74. Как опустить из точки М перпендикуляр на прямую I, если обычное построение невозможно, так как перпендикуляр проходит близко к краю доступной части плоскости?
75. Точки А и В находятся по разные стороны прямой I. Найдите такую точку М, чтобы биссектриса угла АМВ находилась | на I.
76. Постройте треугольник АВС по вершине А и прямым ! 1\ и 1г, на которых лежат биссектрисы углов В и С треугольника.
Признаки параллельности прямых
77. При пересечении прямых АВтя. СВ прямой I образовались 8 углов, из которых 4 — равные тупые углы. Параллельны ли прямые АВ и СО?
78. Докажите, что два перпендикуляра к сторонам угла, который меньше развернутого, пересекаются.
79. На рисунке 11 даны величины углов В, С, О, Е. Параллельны ли прямые АВ и ЕР?
80. Две прямые параллельны. Две другие параллельные прямые пересекают их в точках А та В, С та О. Равны ли треугольники АВС и ОСВ?
81. Прямые АВ и СО параллельны. Прямая пересекает их в точках Е и К. Общий перпендикуляр параллельных прямых делит пополам угол между ЕК и биссектрисой угла ВЕК. Найдите /- СКЕ.
82. Как с помощью шаблона прямого угла разделить пополам данный отрезок?
83. Как с помощью шаблона острого угла построить перпендикуляр к данной прямой в данной точке?
84. Края линейки параллельны, ее ширина меньше отрезка АВ. Как с помощью этой линейки разделить пополам отрезок АВ?
85. Как с помощью линейки с параллельными краями построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку этой прямой?
86. Даны три параллельные прямые и точка М. Постройте прямую, проходящую через точку М так, чтобы разность длин отрезков, отсекаемых на этой прямой данными параллельными прямыми, была равна а.
Сумма углов треугольника
87. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС. Из В и С опущены перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров лежит на биссектрисе
угла А.
88. По данным рисунка 12 определите, есть ли там параллельные прямые.
89. Равны ли равнобедренные прямоугольные треугольники, периметры которых равны?
90. Стороны двух треугольников соответственно перпендикулярны. Равны ли углы этих треугольников?
91. ВМ и СМ — биссектрисы внешних углов при основании равнобедренного треугольника АВС. Точки А\ и А-г симметричны А относительно названных биссектрис. Докажите, что А АА\Ау.—равнобедренный.
92. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что этот треугольник — прямоугольный.
93. Отношение двух внутренних углов треугольника 2:3, а внешних углов при тех же вершинах —11:9. Найдите величину третьего внешнего угла.
94. Точка М находится внутри треугольника АВС. Найдите сумму углов АМВ, АМС и ВМС.
95. Равнобедренные треугольники равны, их высоты, проведенные к основаниям, совпадают. Как делятся, пересекаясь, их боковые стороны?
96. Постройте треугольник по двум углам и разности сторон, лежащих против этих углов.
97. В треугольнике АВС АС == ВС. На этих сторонах отмечены такие точки В, Е, Р, что ВВ == ВЕ = ЕР == РС'== АВ (рис. 13). Найдите углы треугольника АВС.
98. Биссектрисы внешних углов треугольника АВС попарно пересекаются в точках 0\, Оч, Оз. Докажите, что А С^ОгОз остроугольный, и выразите его углы через углы треугольника АВС.
99. Биссектрисы двух внутренних углов остроугольного треугольника пересекают противолежащие стороны под углами 63° и 81°. Найдите углы треугольника.
100. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника АВС отсекает равнобедренный треугольник. Определите градусные меры углов треугольника АВС.
101. Один из углов треугольника равен полу сумме двух Других, его стороны относятся, как 1:2. Найдите величины углов треугольника.
102. В треугольнике АВС АВ == АС, /- ВАС = 80°. Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МВС = 10°, /- МСВ== == 30°. Найдите /.АМВ.
103. В треугольнике АВС АВ = ВС, /-В = 20°. На стороне АВ взята такая точка М, что ВМ == АС. Найдите /- МСА.
104. В равнобедренном треугольнике АВС /- В == 100 . Внутри треугольника взята такая точка М, что ^- МАВ == 10°, ^_ М&А = 20°. Найдите ^. ВМС.
105. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренного треугольника, чтобы ее можно было разрезать на 5 треугольных частей с такими же углами, как у начального треугольника?
Прямоугольный треугольник
106. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой угла при основании. Найдите углы равнобедренного треугольника.
107. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.
108. Если острые углы прямоугольного треугольника относятся, как 1:3, то биссектриса наибольшего угла равна одному е з катетов. Докажите.
109. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме гипотенузы с проведенной к ней медианой.
110. В треугольнике АВС /- А = 15°, ^ В == 30°. Докажите, что перпендикуляр СМ к АС делит сторону АВ на такие частя АМ и МВ, что АМ = 2 ВС (рис. 14).
111. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на три части. Найдите углы треугольника.
112. На прямой отложены отрезки АВ == 2, ВС == СВ =- 1, ВЕ = 2. Из точки М, находящейся вне этой прямой, все названные отрезки видны под равными углами. Определите градусные меры этих углов.
113. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета, ученик построил из вершины прямого угла ВАС такой луч АМ, что ^- ВАМ = — ^- С (рис. 15). Как он хотел доказать теорему?
114. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника Шар толкнули по биссектрисе острого угла. Отразившись отбортов в точках В, Е, К, шар вернулся по пройденному пути (рис. 16). Найдите острые углы треугольника.
115. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольник? АВС. Шар толкнули по биссектрисе прямого угла С. Отразившись от бортов в точках К, Е, М, шар вернулся по пройден ному пути. Найдите острые угль! треугольника.
116. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раз;
больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.
117. Д АВС — прямоугольный, биссектрисы его острых углов — ВВ и СЕ, отрезки ВК и ЕМ — перпендикуляры к ВС (рис. 17). Найдите /- КАМ.
11в. Из города М по двум прямолинейным дорогам выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Через 20 мин после выезда мотоциклист прибыл в пункт В» а велосипедист в пункт А, при этом А МАВ оказался прямоугольным. Еще через 30 мин путешественники были в таких пунктах С и О, что А МСВ оказался равносторонним. Через сколько часов после этого они окажутся » таких пунктах Р и Т, что А МРТ будет прямоугольным?
119. В прямоугольном треугольнике АВС АВ == Асг Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МАВ == ^- МВА == == 15°. Найдите А. ВМС.
Окружность
120. Докажите, что из двух пересекающихся хорд, не проходящих через центр окружности, хоть одна не делится пополам.
121. Докажите, что из центра вписанной окружности каждая сторона треугольника видна под тупым углом.
122. Окружность касается гипотенузы и продолжений катетов. Докажите, что диаметр окружности равен периметру прямоугольного треугольника.
123. На сторонах прямого угла М отмечены такие точки А и В, С и В, что ВО == АВ 4- СВ. Докажите, что разность диаметров окружностей, вписанных в треугольники МВВ а МАС, равна АС.
124. Катеты прямоугольного треугольника а, Ь, гипотенуза
с. Докажите, что радиус вписанной окружности г == д ~ с . &
125. Постройте две окружности с центрами на данной прямой в касающиеся одна другой в данной точке М и касающиеся другой данной прямой Ь.
126. Окружности с центрами 0\ и Оу. касаются внешним образом. Окружность с центром Оэ и радиусом 12 см касается их внутренним образом. Определите периметр треугольника 010а0з.
127. Какую фигуру образуют все точки плоскости, из которых данная окружность видна под прямым углом?