Исследование свойств прямоугольного тетраэдра (стр. 3 из 3)

Формула, устанавливающая связь между площадями граней прямоугольного тетраэдра, является аналогом теоремы Пифагора для трехмерных фигур и поэтому имеет большую теоретическую значимость.

ІV. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА

Результаты исследований можно использовать при решении задач на факультативных занятиях по темам «Пирамида» и «Прямоугольный параллелепипед» в средней школе. С использованием свойств прямоугольного тетраэдра можно найти более рациональные и упрощенные варианты решения задач по сравнению с традиционными методами.

Например: задача №96 (стр.131) учебного пособия: В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвещение, 1979.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b, высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н. Найти площадь полной поверхности.

А

Дано:

ОАВС- пирамида,

основанием является прямоугольный H

треугольник ОВС с катетами а и b В

ОА = Н, высота.

Найти: b

S

полн. О Д

а

С

1) Решение по традиционной схеме:

S полн. = S_АОС + S_АОВ + S_ВОС + S_АВС

S_АОС = (1/2)аН; S_АОВ = (1/2)bН; S_ВОС = (1/2)аb;

Найдем основание и высоту боковой грани АВС с помощью теоремы Пифагора:

______ ________

ВС = √ а² +b² ; АД = √ ОД² +Н² , где ОД – проекция высоты АД на основание ВОС.

Поскольку ОД _ ВС, из подобия треугольников ВОС и ВОД имеем:

______

ОД/ b = а/ВС или ОД = (аb)/ВС = (аb)/ √ а² +b²

Следовательно, _______________ ________________________

АД = √ (аb)/( а² +b²) + Н² = √[(аb)² +(bH)² + (аH)²]/( а² +b²)

_________________

В результате получаем S_АВС= (1/2) √ (аb)² +(bH)² + (аH)²

_________________

Cледовательно, S полн.= (1/2) [√ (аb)² +(bH)² + (аH)² + аН + bН + аb]

2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:

S полн.= S_АОС + S_АОВ + S_ВОС + S_АВС

S_АОС = (1/2)аН; S_АОВ = (1/2)bН; S_ВОС = (1/2)аb;

___________________ _________________

S_АВС= √ S_АОС ² + S_АОВ² + S_ВОС ² = (1/2)√ (аb)² +(bH)² + (аH)²

_________________

Cледовательно, S полн.= (1/2)(√ (аb)² +(bH)² + (аH)² + аН + bН + аb)

Задача №280 (стр.76) учебного пособия: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия.-М.: Просвещение, 1994.

Ребро куба равно а. Найти площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней

К L

Дано:

ОВДСАКLM - куб А М

ОА = а, ОВ = b, ОС = с – ребра

ΔАВС – сечение куба плоскостью, прохо-

дящей через диагонали смежных а

граней. В Д

Найти: а

S_АВС О

а С

1) Решение по традиционной схеме:

Найдем стороны сечения АВС с помощью теоремы Пифагора:

______ __

АС = АВ = ВС = √ а² + а² = √2 а

Площадь правильного треугольника АВС найдем по формуле:

_ _ _

S_АВС= (√3/4)(АС)² , т.е. S_АВС= (√3/4)(2а²) = (√3/2)а²

2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:

S_АОС = S_АОВ = S_ВОС = (1/2)а² (поскольку тетраэдр равнокатетный);

___________________

S_АВС= √ S_АОС ² + S_АОВ² + S_ВОС ²

_________ _

Cледовательно, S_АВС= (1/2) √ а² + а² + а² = (√3/2)а²

V. Список использованной литературы:

1. М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. Изд. 6-е, Гостехиздат, М.-Л., 1952.

2. А.П.Киселев. Геометрия. Учебник для средней школы, ч.1 и 2.- М.: Учпедгиз 1951.

3. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Учебник для средней школы.-М.: Просвещение, 1994.