Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры (стр. 5 из 6)

Пусть ф-ция f(x) является суммой степенного ряда

(9)

Т4 Дифференцирование степенного ряда

Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда (9), то она дифференцируема на этом интервале и её производная f’(x) находится дифференцированием ряда (9):

f’(x)=

При этом радиус сходимости полученного ряда = R

Т5 О интегрировании степенного ряда

Степенной ряд (9) можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

Последовательное применение Т4 приводит к утверждению, что ф-ция f имеет на интервале сходимости производные всех порядков, которые могут быть найдены из ряда (9) почленным дифференцированием. При интегрировании и дифференцировании степенного ряда внутри интервала сходимости радиус сходимости R не меняется, однако на концах интервала может изменяться.

№16

1 Свойства

криволинейных интегралов

Св-ва криволинейных интегралов 1 рода:

1.Константа выносится за знак интеграла, а интеграл суммы можно представить в виде суммы интегралов:

2. Если дуга АВ состоит из двух дуг Ас и Св не имеющих общих внутренних точек и если для ф-ции f(x,y) сущ криволинейный интеграл по АВ, то для для сей ф-ции сущ криволинейные интегралы по АС и по ВС причем:

3.

4.Ф-ла среднего значения

если ф-ция f(x,y) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка М, такая, что:

, где l – длина кривой

Криволинейный интеграл 2 рода обладает всеми свойствами интегралов 1 рода, и исчо при изменении направления прохождения кривой он меняет знак. .И вапще все сказанное выше справедливо и для пространственной кривой (этта та которая с буквой зю)

2 Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть

(1) сходится при |x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)= (2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1) .

Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)=

, то

и справедлива формула:

(15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд:

(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0

При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

(6’) и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расходится всюду, кроме х=х0

2 Сходится, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.

3 Сходится к исходной ф-ции f(x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения дополнительных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) раз дифференцируема на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех xÎ (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

где остаток r_n(x) можно записать:

(8)

(9) Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е "xÎU(x0) |f⁽ⁿ⁾(x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сходится в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.

№17

1 Формула Грина

Сия очень полезная в сельском хозяйстве формула устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами.

Пусть имеется некоторая правильная замкнутая область Д, ограниченная контуром L и пущая ф-ции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными:

в данной области. тогда имеет место ф-ла:

И вот вся эта фигулина и есть формула Грина.

Контур L определяющий область д может быть задан показательными уравнениями х = х1(у), х=х2(у) с<=y<=dx1(y)<=x2(y) или

y = y1(x), y=y2(x) a<=x<=b y1(x)<=y2(x).

Рассмотрим область Д ограниченную неравенствами: a<=x<=b и y1(x)<=y2(x). и преобразуем двойной интеграл

к криволинейным для чего сведем его к повторному и ф-ле Невтона-Лыебница выполним интегрирование по у и получим:

каждый из 2 определенных интегралов в правой части последнего равенства = криволинейному интегралу 2 рода взятому по соответствующей кривой а именно:

Итак двойной интеграл:

Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области Д, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечной число правильных замкнутых областей.

2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)

1Разложение ф-ции е^х

ряд Маклорена.

радиус сходимости:

R=¥ следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

2Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена

сходится на всей числовой оси

сходится на всей числовой оси

3. f(x) = (1+x)^a

Наз. биномиальный ряд с показателем a Различают 2 случая:

1- aÎN, тогда при любом х все члены ф-лы исчезают, начиная с (a +2) поэтому ряд Маклорена содержит конечное число членов и сходится при всех х. Получается формула Бинома Невтона:

, где биномиальный коэффициент.

2- aÎR>N (a¹ 0 х ¹ 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1

4 Разложение ф-ции ln(1+x)

сходится при –1<x<=1

5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена

сходится при -1<=x<=1

№18

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 1 рода.

1.Интеграл

- длине дуги АВ

2.Механический смысл интеграла 1 рода.

Если f(x,y) = r(x,y) – линейная плотность материальной дуги, то ее масса:

для пространственной там буква зю добавляется.

3.Координаты центра масс материальной дуги:

4. Момент инерции дуги лежащей в плоскости оху относительно начала координат и осей вращения ох, оу:

5. Геометрический смысл интеграла 1 рода

Пусть ф-ция z = f(x,y) – имеет размерность длины f(x,y)>=0 во всех точках материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:

, где S – площадь цилиндрической поверхности, кот состоит из перпендикуляров плоскости оху, восст в точках М(x,y) кривой АВ.

2 Геометрические и арифметические ряды.

№19

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.

Вычисление площади плоской области Д с границей L

2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой силы:

при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы зю.

2 Свойства сходящихся рядов

№20

1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.

Плоская область W наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.