Математическая теория захватывания (стр. 2 из 2)
В нашем случае b имеет вид:
(23a)§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.
Тогда l=mlо; w2 = 1+ aоm, (24) (aо , m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо¹ 0).
Тогда исследуемое уравнение имеет вид :
(25)При m = 0 периодическое решение будет иметь вид :
(26)Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:
(27);Начальные условия возьмем как и раньше:
Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при b1b2, m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).
(29)Запишем условия периодичности для (27):
Делим на m:
( 30a )Необходимым условием существования периодического решения является:
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :
(31)
Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).
D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить b1,b2, в виде рядов по степеням m. Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.
(33)P,Q-определяются формулами (31) (32).
§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса
Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).
Решение опять будем искать в виде
. Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв: 
Из формул (22)
(34) , тогда 
D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его: 
(36) 
;Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить D в виде функции P, Q и aо.
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:
; (37)Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m)
1) p2 - q < 0
2) p2 - q > 0
В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0.
Во втором случае
(*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а D> 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, D> 0. (Это можно получить из неравенства (*)).§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.
Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Роsinw1t.
Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:
(39)Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:
(40)S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения
.Далее, вводя обозначения:
Получим дифференциальное уравнение для х:
(41)А: (случай далекий от резонанса).
Для него применяем результаты § 1, полагая
.Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:
Если w> 1, т.е. wо> w1, то разность фаз равна 0, если w< 1, то разность фаз равна p. В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).
(42).Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.
В: (область резонанса , § 3, 4).
В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).
Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.
Или преобразовав их, получим следующее:
Полагая Р = R sin j; Q = R cos j. Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :
Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, D> 0. Считаем b и D через формулы (35-37).
(46)
Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.
1)
a0 - является общим корнем уравнений
2)
Сама ширина Dw, отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: Dw = aоw2о (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:
а) l2о<< 1; Dw = wо Ро/Vоg.
б) для очень сильных сигналов
( Vоg - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).Список литературы
1. Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.
2. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.
3. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.