Математические основы теории систем (стр. 6 из 13)
-4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T nT
можно рассматривать как функцию, определенную в точках ℰT, (ℰ+1)T, (ℰ+2)T,....Такие функции называются смешанными решетчатыми функциями. f(nT+ℰT)=f[nT,ℰT]
(8) f (n-1)T,T = f[nT,0]
Конечные разности решетчатых функций.
Выражение Δf[n]=f[n+1]-f[n] (9) называется разностью первого порядка решетчатой функции f[n]
Δ2f(n)=Δ f[n+1]- Δf[n]- вторая разность
Δkf(n)=Δk-1f[n+1]- Δk-1f[n]- к-тая разность
Выражение значения решетчатой функции через ее конечные разности до порядка l включительно:
l
(10) f[n+l]= ∑ (kl) Δkf[n]; где (kt)=l!/k!(l-k)
k=0
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ .
Всякое соотношение, связывающую решетчатую функцию x[n] и ее разности до некоторого порядка K:
(11) Ф[n, x[n], Δ x[n],.., Δkx[n] =0, называется разностным уравнением. Соотношение (11) можно записать:
(12) Ф[n,x[n],x[n+1],x[n+2],...,x[n+k]=0, уравнение порядка K.
Рассмотрим пример.
(13) Δ3x[n]+ Δ2x[n]+2Δx[n]+2x[n]=f[n]
(13) можно переписать x[n+3]-2x[n+2]+3x[n+1]=f[n], если m=n+1, тогда:
(14) x[m+2]-2x[m+1]+3x[m]=f[m-1]
Таким образом, уравнение (13) является уравнением второго порядка.
Решетчатая функция x[n], которая обращает уравнение в тождество, называется решением разностного уравнения. Решение разностного уравнения (РУ) определяется наиболее просто, если (РУ) порядка К можно разрешить относительно функции x[n+k], т.е представить в виде:
(15) x[n+K]= F[n,x[n],x[n+1],...,x[n+k-1]]
Зададим К начальных условий при некотором значении аргумента n=n0: x[n0]=x0, x[n0+1]=x1,..., x[n0+K-1]=xk-1
Соотношение (15) определяет по заданным начальным условиям значение решения при n=n0+K. Используя значение x[n0+K], вычислим последовательно x[n0+K+1], x[n0+K+2] и все остальные x[n] при n≥n0+K.
Решение РУ (15) x[n]= ℰ[n,x0, x1,...,xk-1].
Рассматриваемая начальные условия мы получим общее решение уравнения (15) как функцию К произвольных постоянных C0,C1,..,Ck-1
(16) x[n]=ℰ[n,C0,C1,...,Ck-1]
Линейное РУ порядка К:
(17) a0[n]Δrx[n]+a1[n]Δr-1x[n]+....+ar[n]x[n]=f[n]
где r≥K, f[n], a0[n], a1[n], ... ,ar[n] - заданные решетчатые функции. Данное уравнение называется неоднородным РУ, если правая часть f[n]≠0, в противном случае это уравнение однородно.
Если решетчатые функции ℰ1[n], ... , ℰl[n] являются решением линейного однородного РУ:
x[n+K]+b1[n]x[n+K-1]+ ... +bk[n]x[n]=0, то функция
l
ℰ[n]= ∑ Ciξi[n], где (i=1,2, ... ,l) - произвольные постоянные,
i=1
также является его решением.
Совокупность К линейно независимых решений разностного однородного уравнения порядка К называется фундаментальной системой решений.
Если при n≥n0 существует фундаментальная система решений ℰ1[n],...,ℰk[n] однородного разностного уравнения, то общее решение этого уравнения выражается:
k
ℰ[n]= ∑ Ciℰi[n]
i=1
Общее решение линейного неоднородного разностного уравнения:
x[n+K]+b1[n]x[n+K-1]+ ... +bk[n]x[n]=f[n] равно сумме
частного решения ψ[n] и общего решения соответствующего однородного ур-я, т.е.
k
x[n]=ψ[n]+ ∑ Ciℰi[n]
i=1
где Ci - произвольные постоянные, Ei[n] - решение однородного уравнения, удовлетворяющие:
W(E1[n0],...,Ek[n0])≠0 (определитель).
Z - преобразования и его свойства.
 |
| И.М. |
U y t  |  |  |
 |
рис. 3.
Для изучения свойств и соотношений, связывающих входные и выходные последовательности системы, изображенной на рис.3, воспользуемся Z-преобразованием. (На рис.3 показана модель системы вход U с импульсным модулятором).
Определение Z-преобразование. функции U(0;∞) представляет собой функцию U комплексной переменной Z определяемую выражением:
∞
(18) U(z)=Z(U)= ∑ U(nT)Z-n , где
n=0
Т-период повторения импульсного модулятора.
Замечание: Если U имеет разрыв в любой дискретный момент kT, смысл соотношения (18) становится не вполне понятным. Поэтому будем всегда считать
U(nT)=U(nT+), n=0,1, ...
,т.е. все функции от времени, которые будут преобразовываться в дискретные, будут равны 0 для t<0, и если они непрерывны в некоторые дискретные моменты, то должны существовать значения U(nT-) и U(nT+).
Пример: функция времени z-преобразование
1(t) 1/(1-z-1)
[ВЮЮ4] e-αt 1/(1-z-1e-αt)
Согласно (18) U(z) определяется степенным рядом от z-1. Этот ряд сходится для всех z за пределами окружности |z|=Ru, где
Ru=lim SVp √ |U(nT)|n→∞
Будем полагать, что каждая рассматриваемая функция имеет конечный радиус сходимости.
Если U является входом импульсного модулятора, то его выход равен
∞
U= ∑ U(kT)δ(t-kT)
k=0
Такая последовательность импульсов имеет преобразование Лапласа
∞
U(S)= ∑ U(kT)e-srT
k=0
Сравнивая (18) с данным соотношением, замечаем, что
U(z)|z=esT =U(S)
Th. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3. Пусть H(z) будет Z-преобразованием импульсной реакции h. Пусть у будет реакцией при нулевом состоянии на входе U, прикладываемый в момент t=0.
Тогда получим:
(19) Y(Z)=H(Z)U(Z) ,для |Z|>max(Ru,Rk)
Выражение (19) аналогично выражению Y(S)=H(S)V(S), которое устанавливает зависимость реакции при нулевом состоянии, импульсной реакции U входа непрерывной системы. По этой причине будем называть H(Z) дискретной передаточной функцией или передаточной функцией, Z-функцией.
∞
(20) H(Z)U(Z)= ∑ ylz-e=Y(Z), |Z|>max(Rh, Ru)
l=0
Формула для нахождения последовательности {y(kT)}, т.е. дискретного выхода.
Свойства Z-преобразования.
1. Теорема линейности.
Z(αf)=αZ(f ) ∀ комплексных чисел α, ∀|Z|>Rf
Z(f+g)=Z(f)+Z(g) ∀|Z|>max (Rf,Rg)
2. Теорема обращения
f(nT)=1/2∏j ⌡Г F(Z)Z-1 dZ, n=0,1,...,
где Г - любая замкнутая спрямляемая кривая, охватывающая начало координат и лежащая вне окружности |Z|=R>Rf.
3. Теорема о начальном значении.
f(0+)= lim F(Z)
Z→∞
4. Теорема сдвига.
Если F(Z) есть Z- преобразование последовательности {f0,f1,f2,...}, то Z-1F(Z) есть Z-преобразование последовательности {0,f0,f1,f2,...}.
1.6. СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ.
Введение: Реакция любой линейной системы содержит две составляющие: реакцию при нулевом входе и реакцию при нулевом состоянии, причем последняя характеризуется передаточной функцией.
Рассмотрим линейную стационарную систему У с несколькими входами и выходами описываемую уравнениями:
(1) x=Ax+Bu
(2) y=Cx+Du
где A,B,C,D- (n*n), (n*r), (p*n) и (p*r)- постоянные матрицы;
x- n-мерный вектор, характеризующий состояние данной системы;
u- входной r-мерный вектор, у- входной p-мерный вектор.
Будем говорить, что система У управляема, если при известных матрицах A и B и состоянии x0 системы при t0 можно найти некоторый вход u[t0,t0+T], который будет переводить систему из состояния x0 в нулевое состояние 0 в момент t0+T.
Опр. Система Ф, определенная уравнением (1) называется управляемой в том и только том случае, если для всех х0∈ℰN при начальном состоянии x0 системы в момент t=0 и некотором конечном T(T>0) найдется вход U[0,T]
такой, что:
(3) x(T;x0;0;U[0;T])=0
Опр. Состояние х1 системы У, описываемой уравнением (1), будем называть управляемым в том и лишь в том случае, если для некоторого конечного Т существует управление U[0,T] такое, что:
x(T;x1;0;U[0;T])=0
НАБЛЮДАЕМОСТЬ.
Понятие наблюдаемости тесно связано с понятием управляемости. Управляемость означает, что, зная начальное состояние и матрицы, характеризующие рассматриваемую систему, можно найти вход, который переводит это состояние в нулевое конечное время. Наблюдаемость означает, что знания матриц характеризующих систему, и реакции при нулевом входе Y[0,t] на конечном интервале достаточно для однозначного определения начального состояния данной системы.