Методы решения некорректно поставленных задач (стр. 3 из 7)

Обычно не существует эффективных критериев, позволяющих установить принадлежность элемента и множеству N. Это приходится предполагать известным априори. В практических задачах часто вместо точного значения правой части и_T нам известно ее приближенное значение u¹, которое может не принадлежать множеству N=AM. В этих случаях нельзя строить приближенное решение уравнения (2; 0,1) по формуле (2; 2,1), так как символ А^-1u может не иметь смысла.

2.2.2. Стремление устранить затруднения, связанные с отсутствием решения уравнения (2; 0,1) при неточной правой части, привело В. К. Иванова к понятию квазирешения уравнения (2; 0,1) — обобщению понятия решения этого уравнения.

Элемент z¹ÎМ, минимизирующий при данном и функционалr_U(Az¹,и) на множестве М, называется квазирешением уравнения (2; 0,1) на М,

Если М — компакт, то квазирешение, очевидно, существует для любого иÎU и если, кроме того, иÎAM, то квазирешение z¹ совпадает с обычным (точным) решением уравнения (2; 0,1). Квазирешение может быть и не одно. В этом случае под квазирешенпем будем разуметь любой элемент из множества квазирешенийD.

Можно указать достаточные условия, при которых квазирешение единственно и непрерывно зависит от правой части и.

Напомним определение. Пусть элемент у и множество Q принадлежат пространству U. Элементq множестваQ называется проекцией элемента у на множество Q, q=Ру, если выполняется равенство

где

Теорема 1.Если уравнение Аz=u может иметь на компакте М не болееодного решения и проекция каждого элемента uÎU на множество N =AM единственна, то квазирешение уравнения (2; 0,1) единственно и непрерывно зависит от правой части u.

Доказательство. Пусть z¹ — квазирешение и и¹=Аz¹. Очевидно, и¹ есть проекция элемента u на множество N =AM. По условию теоремы она определяется однозначно. Отсюда, в силу взаимной однозначности отображения множества М на множествоN, следует единственность квазирешения z¹.

Очевидно, что z¹ = А^-1u=А^-1Ри. Согласно лемме о непрерывности обратного отображения компакта (см. предыдущий параграф) оператор А^-1 непрерывен на N. Оператор проектирования Р непрерывен на U. Поэтому А^-1P— непрерывный на U оператор и, следовательно, квазирешение z¹ непрерывно зависит от правой части и.

Таким образом, при переходе к квазирешению восстанавливаются все условия корректности, т. е. задача нахождения квазирешения уравнения (2; 0,1) на компакте М является корректно поставленной.

Если условие единственности решения уравнения (2; 0,1) не выполнено, то квазирешения образуют некоторое множествоD элементов компакта М. В этом случае без упомянутых в теореме 1 ограничений на множество N имеет место непрерывная зависимость множества квазирешений D от и в смысле непрерывности многозначных отображений. Для случая, когда уравнение (2; 0,1) линейно, легко получить более общие результаты, содержащиеся в следующей теореме .

Теорема 2.Пусть уравнение (2; 0,1) линейно, однородное уравнениеAz=0имеет только нулевое решение, множество М выпукло, а всякая сфера в пространстве U строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения (2; 0,1) на компакте М единственно и непрерывно зависит от правой части и.

Доказательство. Пусть z¹ — квазирешение и u¹=Az¹. Так как множество М выпукло, то в силу линейности оператора А множество N=AM также выпукло. Очевидно, что и¹ есть проекция элемента и на множество N. В силу того, что сфера в пространстве U по условию теоремы строго выпукла, проекция и определяется однозначно. Далее доказательство завершается, как в теореме 1.

2.2.3. ПустьF и U — гильбертовы пространства, МÎS_R — шар (|| z ||<=R ) в пространстве F и А — вполне непрерывный линейный оператор.

В этом случае квазирешение уравнения (2; 0,1) можно представить в виде ряда по собственным элементам (функциям, векторам) j_n оператора А*А, где А* — оператор, сопряженный оператору А.

Известно, что А*А — самосопряженный положительный вполне непрерывный оператор из F в F. Пусть l₁>=l₂>=…>=l_n>=… — полная система его собственных значений, a j₁, j₂,…, j_n,…—отвечающая им полная ортонормированная система его собственных элементов (функций, векторов). Элемент А*и можно представить в виде ряда

(2;2,2)

В этих условиях справедлива

Теорема 3.Квазирешение уравнения (2, 0,1) намножествеS_Rвыражается формулами:

(2;2,3)

если

(2;2,4)

и

если

(2;2,5)

Здесьb —корень уравнения

(2;2,6)

Доказательство. Квазирсшение минимизирует функционал

r_U² (Az,u) == (Az —u, Az — u) (2;2,7)

(где (v,w ) — скалярное произведение элементовv иw из U), уравнение Эйлера для которого имеет вид

A*Az=A*u. (2;2,8)

Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по системе {j_n}:

(2;2,9)

Подставляя этот ряд в уравнение (2; 2,8) и используя разложение (2;2,2), находим с_n=b_n/l_n. Следовательно, неравенство (2; 2,4) означает, что ||z||<R и речь идет о нахождении безусловного экстремума функционала (2; 2,7). Ряд (2; 2,3) и будет решением задачи.

Если же выполняется неравенство (2; 2,5), то это означает, что ||z||>=R и надо решать задачу на условные экстремум функционала (2; 2,7) при условии, что || z ||² =R². Методом неопределенных множителей Лагранжа эта задача сводится к нахождению безусловного экстремума функционала

(Аz-u, Аz-u) +b (z, z),

а последняя — к решению отвечающего ему уравнения ЭйлераA*Az+bz=А*и. Подставляя сюда z в виде ряда (2; 2,9) и используя разложение (2; 2,2), находим

Параметр b определяем из условия || z ||² =R², которое эквивалентно (2; 2,6).

2.3. Приближенное нахождение квазирешений

В предыдущем параграфемы видели, что нахождение квазирешения связано с нахождением элемента в бесконечномерном пространстве. Для приближенного нахождения квазирешения естественно переходить к конечномерному пространству. Можно указать достаточно общий подход к приближенному нахождению квазирешений уравнения (2; 0,1) , в котором А—вполне непрерывный оператор.

Будем полагать, что выполнены указанные в 2.2. достаточные условия существования единственного квазирешения на заданном множестве М, т. е. полагаем, что множество М — выпуклый компакт и сфера в пространстве U строго выпукла. Пусть

M₁ Ì M₂ Ì...Ì M_n Ì...

— возрастающая цепочка компактных замкнутых множеств М_n такая, что замыкание их объединения

совпадает с М. Квазирешение уравнения (2; 0,1) существует на каждом множестве М_n . Но оно может быть не единственным. Обозначим через Т_n совокупность всех квазирешений на множестве М_n .

Покажем, что в качестве приближения к квазирешению z¹ на множестве М можно брать любой элемент z¹_n из Т_n . При этом

Пусть N_n = АМ_n и В_n — множество проекций элемента и на множествоN_n . Очевидно, что В_n =АТ_n и N₁ Í N₂ Í …Í N_n; тогда

r_U(u,N₁)>= …>=r_U (u,N_n)>=… r_U (u,N)= r_U (u,Az¹) .(2;3,1)

Так как множество

всюду плотно на N, тодлявсякого e >0 найдется такое число n₀(e), что для всех п >n₀(e)

r_U(u,N_n)<r_U(u,N)+e (2; 3,2)

Из (2; 3,1) и (2; 3,2) следует, что

(2;3,3)

Посколькуто

(2;3,4)

Каждое множествоВ_n есть компакт, так как оно является замкнутым подмножеством компактаN_n. ПоэтомувВ_nнайдется такой элемент у_n , что

r_U(y_n ,u) = inf r_U(y,u)

yÎB_n

Последовательность {y_n} имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащуюN, так как N — компакт. Пусть у₀ — какая-нибудь предельная точка множества {y_n} и {уn_k} — подпоследовательность, сходящаяся к y₀ , т. е.