Минимизация функций алгебры логики (стр. 4 из 7)

Временные булевы функции применяются для описания работы схем с памятью.

Определение: Производной первого порядка от булевой функции

по переменной называется выражение:

Где первая

- единичная остаточная функция, а вторая- нулевая остаточная функция.

Пример:

после минимизации получим:

производная первого порядка по

переменной определяет условие, при котором эта функция изменяет свое значение при перемене значения с 0 на 1.

Для данной функции получим схему:

---

Смешанные производные k-го порядка.

Определение: смешанной производной k-го порядка называется выражение вида:

При этом порядок фиксированной переменной не имеет значения. Производная k-го порядка

определяет условия, при которых эта функция изменяет свое значение при одновременном изменении значений .

Согласно Бохману, производная k-го порядка вычисляется по формуле:

Пример: определить условия переключения выходного канала функции при переключении каждого канала, первого и второго канала, всех каналов одновременно.

1)

Понятие производной от булевых функций используется для синтеза логических схем, а также в теории надежности.

Приложение алгебры логики. (1.8)

1) Для решения логических задач, - суть в том, что имея конкретные условия логической задачи стараются записать их в виде ФАЛ, которые затем минимизируют. Простейший вид формуды, как правило, приводят к ответу на задачу.

Задача:

По подозрению в преступлению задержаны: Браун, Джон и Смит. Один – старик, другой – чиновник, третий – мошенник). Все они дали показания, причем: старик всегда говорил правду, мошенник всегда лгал, а чиновник иногда лгал, а иногда говорил правду.

Показания: Браун – Я совершил это, Джон не виноват.

Джон – Браун не виноват, это сделал Смит.

Смит – я не виноват, виновен Браун.

На основании этого условия определить, кто из них совершил преступление, и кто старик, кто мошенник и кто чиновник.

Обозначим буквами: Б- виноват Браун

Д – виноват Джон

С – виноват Смит

Тогда показания запишутся в виде:

Тогда запишем функцию:

Запишем ее таблицу истинности и вычеркнем некоторые не подходящие наборы (2 преступника одновременно и.т.д.)

Б	Д	С				L
1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	1	0	1	0	1
3	0	1	0	0	0	0	0
4	0	1	1	0	1	0	1
5	1	0	0	1	0	1	1
6	1	0	1	1	0	0	1
7	1	1	0	0	0	1	1
8	1	1	1	0	0	0	0

Значит Браун – чиновник, Джон – старик, Смит – мошенник, он же преступник.

2) Среди технических средств автоматизации (релейно-контактные системы).

Значительное место занимают РКС, используемые в вычислительной технике. РКС – переключательные схемы. В 1910 г. физик Эрнфест указал на возможность применения алгебры логики при исследовании РКС. Его идея заключается в том, что каждой схеме можно сопоставить ФАЛ и наоборот. Это позволяет выявить возможности схемы, изучая соответствующую формулу, а упрощение схемы свести к упрощению ФАЛ – анализ переключательной схемы.

Синтез переключательной схемы (до построения схемы можно описать ее работу с помощью логической функции).

Рассмотрим связь между переключательными схемами и ФАЛ. (1.8.1)

Определение: переключательная схема – схемотехническое изображение устройства, состоящее из следующих элементов:

1) переключатель (может быть разомкнут или замкнут)

2) проводники

3) вход в схему и выход из нее

Примеры:

а) А В