Нестандартный анализ (стр. 1 из 4)

Нестандартный анализ возник в 1960 году,когда Абрахам Робинсон, специалист потеории моделей, понял, каким образом методы математической логики позволяют оправдать классиков математического анализа XVII и XVIII вв., поставив на строгую основу их рассуждения, использующие “бесконечно большие” и бесконечно малые величины. Таким образом, речь шла не о каких-то новых “нестандартных” методах, не имеющих ничего общего с традиционной математикой, а о развитии новых средств внутри стандартной (теоретико-множественной) математики.

Нестандартный анализ остался бы любопытным курьезом,если бы единственным его приложением было обоснование рассуждений классиков математического анализа. Он оказался полезным и при развитии новых математических теорий. Нестандартный анализ можно сравнить с мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.

Однако, быть может, главное значение нестандартного анализа состоит в другом. Язык нестандартного анализа оказался удобным средством построения математических моделей физических явлений. Идеи и методы нестандартного анализа могут стать важной частью будущей физической картины мира. Во всяком случае уже сейчас многие специалисты по математической физике активно используют нестандартный анализ в своей работе.

Несколько примеров нестандартного анализа:

Пример 1. Вычислим производную функции

. Дадим аргументу x приращение dx, перейдя от точки x к точке x+dx. Выясним, насколько при этом изменилось значение функции . В точке х оно равнялось . В точке оно равняется . Таким образом, оно изменилось на . Отношение приращения функции к приращению аргумента равно

Если

бесконечно мало, то членом в сумме можно пренебречь, и искомая производная равна .

Пример 2. Вычислим аналогичным способом производную функции

. Приращение равно ; частное равно

.

Взяв бесконечно малым, получаем, что производная равна

.

Пример 5. Построение неизмеримого множества. Каждое действительное число

, удовлетворяющее неравенству ,разлагаем в бесконечную двоичную дробь; для обеспечения однозначности запрещаем разложения с бесконечным числом идущих подряд единиц. Фиксируем произвольное бесконечно большое натуральное число и отбираем те действительные числа , у которых -й член разложения равен единице; множество всех отобранных таким образом действительных чисел неизмеримо по Лебегу.

Если примеры 1 и 2 хотя и могут шокировать нас наивной нестрогостью, но всё же в известной мере соответствуют интуиции, то пример 5 представляется просто-напросто абракадаброй.

Нестандартный анализ, однако, почти сплошь состоит из подобной абракадабры, имеющей в нём точный математический смысл. Он позволяет, в частности, с новой точки зрения посмотреть на многие рассуждения классиков математического анализа, кажущиеся нестрогими, но приводящие к успеху, и путём относительно небольших уточнений сделать их удовлетворяющими современным критериям строгости.

ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ?

Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины постоянные. Достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные, а просто как очень маленькие, почти равные нулю.

Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует называть бесконечно малым? Предположим, что это положительное число

, если оно меньше всех положительных чисел. Легко понять , что такого не бывает: если больше нуля , то оно является одним из положительных чисел , поэтому наше определение требует , чтобы число было меньше самого себя. Поэтому потребуем, чтобы было наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое должно изобразиться самой левой точкой множества . К сожалению числа с указанными свойствами тоже нет и быть не может: число будет положительным числом, меньшим .

Более точное определение бесконечной малости числа

>0 , которое мы будем использовать в дальнейшем таково. Будем складывать число с самим собой, получая числа + и т. д. Если все полученные числа окажутся меньше 1, то число и будет называться бесконечно малым. Другими словами, если бесконечно мало, то сколько раз не откладывай отрезок длины вдоль отрезка длины 1, до конца не дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому можно переписать в такой форме

1<

Таким образом, если число

бесконечно мало, то число бесконечно велико в том смысле, что оно больше любого из чисел : 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т.д. Из сказанного можно видеть, что существование бесконечно малых противоречит так называемой аксиоме Архимеда, которая утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно отложить меньший из них (А) столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (В).