Смекни!
smekni.com

Операторы в вейвлетном базисе (стр. 3 из 3)

где ядро

, а неизвестная функция f(x) и функция в правой части
,
. Для простоты будем рассматривать интервал
и введём следующее обозначение для всех
и
:

Предположим, что {φ1, φ1,…} – ортонормальный базис для

; ядро представимо в этом базисе в следующем виде:

где коэффициенты Kijвычисляются по формуле

,

Аналогично функции fи gпредставимы в виде

,
,

где коэффициенты fiи giвычисляются по формулам:

,
, i=1,2,…

Интегральное уравнение в этом случае соответствует бесконечной системе уравнений

, i=1,2,…

Представление ядра может быть урезано до конечного числа слагаемых, что приводит к представлению интегрального оператора R:

,
,
,

который аппроксимирует K. Тогда интегральное уравнение аппроксимируется системой nуравнений с nнеизвестными:

, i=1,2,…,n

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

function [a,r]=dif_r(wname)

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] = wfilters(wname);

% вычисление коэффициентов a2k-1

len=length(LO_D);

a=zeros(len-1,1);

for k=1:len-1;

for i=0:len-2*k;

a(2*k-1)=a(2*k-1)+2*LO_D(i+1)*LO_D(i+2*k);

end;

end;

% вычисление коэффициентов rl

f=zeros(len-2,1);

f(1)=-1/2;

R=zeros(len-2);

for l=len-2:-1:2;

R(l,l)=-1;

if (2*l<=len-2)

R(l,2*l)=2;

end;

for n=1:2:len-1;

if (abs(2*l-n)<len-2);

if ((2*l-n)<0);

R(l,abs(2*l-n))=-a(n)+R(l,abs(2*l-n));

else

R(l,2*l-n)=a(n)+R(l,2*l-n);

end;

end;

if (abs(2*l+n)<len-2);

if ((2*l+n)<0);

R(l,abs(2*l+n))=-a(n)+R(l,abs(2*l+n));

else

R(l,2*l+n)=a(n)+R(1,2*l+n);

end;

end;

end;

end;

for j=1:len-2;

R(1,j)=j;

end;

r=inv(R)*f;

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

function [al, bet, gam]=difcoef(wname,N)

% извлечение коэффициентов rl

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] = wfilters(wname);

[a,r]=dif_r(wname);

L=length(LO_D);

% вычисление значений αl, βl, γl

J=length(r):-1:1;

R=[-r(J);0; r];

K=L+1;

al=zeros(2*L+1,1);

bet=al;

gam=al;

for i=-L+1:L+1;

for k=L+1:2*L;

for k1=L+1:2*L;

if(((2*i+k-k1+L)<length(R)+1)&&((2*i+k-k1+L)>0))

al(i+L)=HI_D(k-L)*HI_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+al(i+L);

bet(i+L)=HI_D(k-L)*LO_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+bet(i+L);

gam(i+L)=LO_D(k-L)*HI_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+gam(i+L);

end;

end;

end;

end;

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

1. Вейвлет Добеши с M=2.
a1=1.1250 a3=-0.1250
r1=-0.6667 r2=0.0833

2. Вейвлет Добеши сM=3.
a1=1.1719 a3=-0.1953 a5=0.0234

r1=-0.7452 r2=0.1452 r3=-0.0146 r4=-0.0003

3. Вейвлет Добеши сM=4.
a1=1.19628906249870 a3=-0.23925781249914
a5=0.04785156250041 a7=-0.00488281249997

r1=-0.79300950497055 r2=0.19199897079726 r3=-0.03358020705113

r4= 0.00222404967066 r5=0.00017220619000 r6=-0.00000084085054

4. Вейвлет Добеши с M=5.
a1=1.21124267578280 a3=-0.26916503906311 a5=0.06921386718738

a7=-0.01235961914130 a9=0.00106811523422

r1=-0.82590601185686 r2=0.22882018706986 r3=-0.05335257193327

r4=0.00746139636621 r5=-0.00023923581985 r6=-0.00005404730164

r7=-0.00000025241171 r8=-0.00000000026960

5. Вейвлет Добеши сM=6.

a1=1.22133636474683 a3=-0.29079437255810 a5=0.08723831176674

a7=-0.02077102661228 a9=0.00323104858448 a11=-0.00024032592766

r1=-0.85013666156022 r2=0.25855294414318 r3=-0.07244058999853

r4=0.01454551104340 r5=-0.00158856154379 r6=0.00000429689148

r7=0.00001202657519 r8=0.00000042069120 r9=-0.00000000289967

r10=0.00000000000070

6. Вейвлет Койфмана с M=2.
a1=1.20035616471068 a3=-0.24753371156550 a5=0.05401594511476

a7=-0.00724698442340 a9=0.00043220193586 a11=-0.00002361577240

r1=-0.80177838961957 r2=0.20214744976459 r3=-0.03943577686925

r4=0.00404789045961 r5=-0.00008445623632 r6=0.00000255044096

r7=0.00000088836508 r8=0.00000000237860 r9=-0.00000000002099

r10=0.00000000000000

7. Симлет с M=2.

a1=1.12499999999971 a3=-0.12499999999971

r1=-0.66666666666616 r2=0.08333333333308

8. Симлет с M=3.

a1=1.17187500000666 a3=-0.19531250000432 a5=0.02343749999766
r1=-0.74520547946903 r2=0.14520547945865 r3=-0.01461187214494
r4=-0.00034246575336

9. Симлет с M=4.

a1=1.19628906249990 a3=-0.23925781249985 a5=0.04785156249993

a7=-0.00488281249998

r1=-0.79300950497424 r2=0.19199897079876 r3=-0.03358020705098

r4=0.00222404967071 r5=0.00017220619000 r6=-0.00000084085054

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

1. Вейвлет Добеши с M=2.

α-3=-0.00520833333331 β-3 =-0.00139556871057 γ-3=0.01943776462271
α-2=0.04687500000004 β-2=0.02222890204378 γ-2=-0.04027109795592
α-1=0.71874999999873 β-1=-0.03887552924536 γ-1=0.00279113742108
α1=-0.71874999999873 β1=-0.00279113742108 γ1=0.03887552924536
α2=-0.04687500000004 β2=0.04027109795592 γ2=-0.02222890204378
α3=0.00520833333331 β3=-0.01943776462271 γ3=0.00139556871057

2. Вейвлет Добеши с M=3.

α-5=-0.00000401327055 β-5 =0.00000042496289 γ-5=-0.00003790058109
α-4=0.00173507063342 β-4=-0.00018594182937 γ-4=0.01618803080395
α-3=-0.01438088613327 β-3=0.00249383057321 γ-3=-0.05023776816965
α-2=0.09779091752885 β-2=-0.02225975249164 γ-2=0.03807446337594
α-1=0.84450449488848 β-1=0.05176823864378 γ-1=0.02782997442973
α1=-0.84450449488848 β1=-0.02782997442973 γ1=-0.05176823864378
α2=-0.09779091752885 β2=-0.03807446337594 γ2=0.02225975249164
α3=0.01438088613327 β3=0.05023776816965 γ3=-0.00249383057321
α4=-0.00173507063342 β4=-0.01618803080395 γ4=0.00018594182937
α5=0.00000401327055 β5=0.00003790058109 γ5=-0.00000042496289

Вейвлет Добеши сM=4.

α-7=0.00000000205286 β-7 =0.00000000009443 γ-7=-0.00000004462725
α-6=-0.00000544992677 β-6 =-0.00000025123058 γ-6=0.00011822433115
α-5=-0.00041543477135 β-5 =-0.00001769213018 γ-5=0.00969983443149
α-4=0.00432716179594 β-4=0.00030224225713 γ-4= -0.04151919818136
α-3=-0.02134228538239 β-3=-0.00242879427312 γ-3= 0.05677199535135
α-2=0.14516544960962 β-2=0.01699891329704 γ-2=-0.00862627283270
α-1=0.93050197130889 β-1=-0.04758076037403 γ-1=-0.04917088083201
α1=-0.93050197130889 β1= 0.04917088083201 γ1=0.04758076037403
a2=-0.14516544960962 β2= 0.00862627283270 γ2=-0.01699891329704
a3=0.02134228538239 β3= -0.05677199535135 γ3=0.00242879427312
α4=-0.00432716179594 β4=0.04151919818136 γ4=-0.00030224225713
a5=0.00041543477135 β5=-0.00969983443149 γ5=0.00001769213018
a6=0.00000544992677 β6=-0.00011822433115 γ6=0.00000025123058
α7=-0.00000000205286 β7= 0.00000004462725 γ7=-0.00000000009443

3. Симлет с M=2.

α-3=-0.00520833333331 β-3 =-0.00139556871057 γ-3=0.01943776462271
α-2=0.04687500000004 β-2=0.02222890204378 γ-2=-0.04027109795592
α-1=0.71874999999873 β-1=-0.03887552924536 γ-1=0.00279113742108
α1=-0.71874999999873 β1=-0.00279113742108 γ1=0.03887552924536
α2=-0.04687500000004 β2=0.04027109795592 γ2=-0.02222890204378
α3=0.00520833333331 β3=-0.01943776462271 γ3=0.00139556871057

ЛИТЕРАТУРА

1. Beylkin G. Wavelets and Fast Numerical Algorithms

2. Beylkin G. Wavelets, Multiresolution Analysis and Fast Numerical Algorithms

3. Beylkin G. In The Representation.of Operators in Bases of Compactly Supported Wavelets

4. Bradley K. Alpert A Class of Bases in L2 for the Sparse Representation of Integral Operators

5. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук – 2001, №5. – С.465-500