Поверхности второго порядка (стр. 1 из 3)

Содержание.

· Понятие поверхности второго порядка.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

· Классификация поверхностей второго порядка.

1. Классификация центральных поверхностей.

-1°. Эллипсоид.

-2°. Однополостный гиперболоид.

-3°. Двуполостный гиперболоид.
-4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

-1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.

-2°. Параболический цилиндр

•Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

1. Эллипсоид.
2. Гиперболоиды.

- 1°. Однополостный гиперболоид.

-2°. Двуполостный гиперболоид.

3. Параболоиды.

-1°. Эллиптический параболоид.
-2°. Гиперболический параболоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

- 1°. Конус второго порядка.
-2°. Эллиптический цилиндр.
-3°. Гиперболический цилиндр.
-4°. Параболический цилиндр.

Список использованной литературы.

§ 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁х² + а₂₂у² +a₃₃z²+2a₁₂xy +2a₂₃уz + 2a₁₃xz + 2а₁₄x +2а₂₄у+2а₃₄z +а₄₄ =0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ , a₁₂ , a_{23 ,} a₁₃отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы координат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a₁₁х² + а₂₂у² +a₃₃z² + а₄₄ = 0 (2)

Так как инвариант I₃ для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a₁₁ • а₂₂ •a₃₃, то коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃ удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи:

-1°.Коэффициентыa₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃ одного знака, а коэффициента₄₄ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃, а₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃противоположен знаку коэффициента а₄₄, то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

-2°.Из четырех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃, а₄₄ два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ > 0,а₂₂ >0, a₃₃ <0,а₄₄ <0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу иOz называются его главными осями.

-3°. Знак одного из первых трех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ ,a₃₃, а₄₄противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ < 0,а₂₂ <0, a₃₃ >0,а₄₄ <0. Тогда :

Обозначим эти числасоответственно через a², b², с². Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

- 4°. Коэффициента₄₄равен нулю. В этом случае поверхность S называетсяконусом второго порядка.

Если коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а₄₄ =0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁ > o, а₂₂ > 0,a₃₃ <0. Обозначим

соответственно через а², b², с². Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей второго порядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариантI₃равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁х´² + а´₂₂у´² +a´₃₃z´² + 2а´₁₄x´ +2а´₂₄у´+2а´₃₄z´ +а´₄₄ =0 (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I₃ =0 и его значение, вычисленное для уравнения (7), равно

a´₁₁ • а´₂₂ •a´₃₃, то один или два из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ ,a´₃₃равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

-1°. Один из коэффициентовa´₁₁ , а´₂₂ ,a´₃₃равен нулю. Радиопределенности будем считать, чтоa´₃₃ =0(если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z'к новым координатам х, у, z по формулам

Подставляях', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´₁₁наa₁₁, а´₂₂ на а₂₂ , а´₃₄ на pи а´₄₄на q, получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координатOxyz :

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz + q = 0 (9)