При выделении обязательных задач по теме «Функции», следует ориентироваться на то, что обучение в VI—VIII классах представляет собой не завершающий, а промежуточный этап в системе математического образования каждого школьника: На базе полученной им математической подготовки строится его дальнейшее обучение. Поэтому для определения реально необходимого уровня сформированности умений по каждому вопросу, в первую очередь, следует проанализировать характер и уровень использования этих умений на следующих ступенях обучения. Кроме того, важное значение имеет характер применения математических знаний учащихся в смежных школьных предметах.
Применительно к функциональному материалу естественным представляется проанализировать характер его применения в курсе алгебры и начал анализа, геометрии, а также школьного курса физики. Анализ теоретического и задачного материала этих курсов позволяет выделить две группы умений, за формированием которых следует тщательно следить при изучении всех видов конкретных функций,— умения работать с формулой, задающей функцию, и умения работать с графиком этой функции.
К умениям работать с формулами относятся "следующие.
Если функции видаy=kx+b, у=k/x, y=ax2+bx+c, у=х3, y=Öxзаданы формулами с конкретными значениями параметров, то учащиеся должны уметь:
— указать область определения функции;
— вычислить значение функции, соответствующее заданному значению аргумента;
—вычислить значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение;
— определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции,
Все эти умения широко используются в разной деятельности учащихся, входят в качестве составных в большое число других умений. Так, например, умение найти значение функции при заданном значении аргумента используется при построении графиков функций, нахождении наибольшего и наименьшего значений функции, вычислении пределов функций, интегралов и др. В курсе физики оно используется практически при изучении всех вопросов. Это так называемые вычисления по формулам: длины пройденного пути при равномерном прямолинейном движении, силы тока в проводнике, координаты тела при равномерном и равноускоренном движении и т.. д. Умение записать нужное равенство, зная, что заданная точка принадлежит графику функции (а также графику уравнения), требуется учащимся, например, в курсе геометрии при выводе уравнений прямой, окружности, плоскости.
Важнейшее значение в функциональной подготовке учащихся - имеет формирование графических умений. График — это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе.
График функции выступает основным опорным образом при формировании целого ряда понятий — возрастания и убывания функции, четности и нечетности, обратимости функции, понятия экстремума. Без четких и сознательных представлений учащихся о графике невозможно привлечение геометрической наглядности при формировании таких центральных понятий курса алгебры и начал анализа, как непрерывность, производная, интеграл. Поэтому заниматься формированием графических представлений в старших классах уже поздно. К этому времени у учащихся должны быть выработаны прочные умения как в построении, так и в чтении графиков функций. Прежде всего учащиеся должны уметь свободно строить графики основных функций:
y=kx+b, у=k/x, y=ax2+bx+c, (при конкретных значениях параметров), у=х3, y=Öx
Необходимой базой последующего применения функционального материала являются прочные самостоятельные умения учащихся в чтении графиков функций. Они должны уметь уверенно и свободно отвечать с помощью графика на целый ряд вопросов: ,
— по заданному значению одной из переменных х или у определить значение другой;
— определять промежутки возрастания и убывания функции;
— определять промежутки знакопостоянства;
— для квадратичной функции указывать значение аргумента, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, а также определять это значение.
Ученики должны хорошо представлять себе вид графиков некоторых функций, а именно: у=х, у=—х, у=х2, и уметь без специального построения по точкам показать их расположение в координатной плоскости.
И наконец, учащиеся должны применять графики изученных перечисленных выше функций для графического решения уравнений, систем уравнений, неравенств видаf(x)³0.
Достижение„всеми учащимися выделенных результатов обучения требует специальной ориентации процесса обучения, серьезной и тщательной работы учителя по обеспечению такого усвоения. При этом правильно организованная работа по обучению учащихся решать основные типы задач не только не противоречит тезису о развитии самостоятельности учащихся в учебной деятельности, но и способствует такому развитию, закладывает основы обучения школьников обще учебным умениям, умениям самостоятельной работы. Остановимся на некоторых из этих вопросов.
Прежде всего, одним из условий эффективности этой работы является своевременное ознакомление учащихся с основными требованиями к их знаниям и умениям. Это может делаться в различной форме. Приступая к изучению какой-либо функции, целесообразно сообщить учащимся в самом общем виде, какими умениями они должны овладеть в обязательном порядке. Например, начав изучать функцию вида y=ax2+bx+c, можно указать учащимся, что усвоение этого материала будет оценено положительно только в
том случае, если они научатся строить график квадратичной функции и по графику отвечать на некоторые вопросы. В ходе изучения материала следует уточнить требования, конкретизировав их вторую часть. При этом, если имеется такая возможность, полезно указать номера упражнений, отражающих основные требования.
Сформировать прочные умения в построении и чтении графиков функций, добиться, чтобы каждый ученик мог выполнять основные виды заданий самостоятельно, можно только при условии выполнения учащимися достаточного числа тренировочных упражнений. Но было бы большой ошибкой, если бы эта работа ограничивалась только тренировкой. Обоснованность действий, сознательность при их выполнении, внимание к формированию умений обще учебного характера — непременное условие прочности в овладении умениями. Рассмотрим это на примере отработки умения строить графики функций.
Часто приходится наблюдать, особенно в практике работы неопытных учителей, что при формировании этого умения они ограничиваются исключительно тренировочными упражнениями, не уделяя должного внимания овладению понятиями, изучению свойств функций. Результатом является то, что при затрате больших сил и времени учащиеся так и не приобретает умения свободно и уверенно строить графики. Проанализируем один пример. В итоговой контрольной работе по алгебре за курс VI класса учащимся было предложено построить график функции, заданной формулой у=2х—1. Многие учащиеся справились с заданием. Однако среди ошибок были такие, которые свидетельствовали о несформированности не только умения строить график линейной функции, но и строить график вообще. В некоторых работах на рисунке вместо прямой можно было видеть некое подобие параболы или гиперболы. Иногда это была и прямая, но проходящая через другие координатные углы. Ученики, таким образом выполнившие задание, усвоили только одно: для того чтобы построить график функции, надо находить координаты точек, принадлежащих графику. Допущенные в вычислениях ошибки не Позволили им верно выполнить задание, однако проконтролировать себя в ходе его решения они не смогли. Это свидетельствуемо том, что в ходе обучения построению графиков функций акцент делался на механическое повторение способов построения графиков отдельных функций и недооценивалось значение теоретических знаний.
При обучении учащихся построению графиков функций следует ориентироваться не на формальное повторение школьниками отдельных приемов построения графиков, а на сознательное усвоение материала. Необходимо уделять серьезное внимание усвоению соответствующих понятий, изучению свойств функций и формированию на этой основе способов построения графиков.
При изучении всех видов функций построение графика полезно проводить по одному и тому же общему плану, добиваясь от учащихся его непременного соблюдения:
1. по формуле распознать вид функции (линейная, квадратичная и т. д.)
2. вспомнить, что является графиком функции такого вида (прямая, парабола и т. д.)
3. выяснить, исходя из формулы, некоторые характерные особенности этого графика (так какk>0, то угол наклона прямой к оси х острый; так как а<0, то ветви параболы направлены вниз;
4. приступать к построению графика по точкам, используя для каждого вида функции свой специфический способ.
При выполнении упражнения всем классом, сопровождающемся построением графика на доске, надо непременно требовать от отвечающего ученика вслух комментировать ход решения, выделяя каждый из этих этапов, не пропуская ни один из них. Такая планомерная работа приводит к тому, что соблюдение этого плана становится привычным для ученика, и каждый ученик самостоятельно обращается к нему при построении любого графика.
Обучаясь построению графиков конкретных функций, ученик обучается составлению определенного плана действий. Приступая к решению поставленной перед ним задачи, ученик не берется за ее выполнение «в лоб», а предварительно намечает исходную идею решения. Иными словами, у него появляется основа для ориентировочных действий. А это, в свою очередь, способствует приобретению навыков самоконтроля. Причем подход к самоконтролю здесь не формальный, в отличие от широко распространенного в практике, когда ученикам, уже выполнившим задание, предлагают: