Структура сходящихся последовательностей (стр. 2 из 3)

Доказательство: достаточно доказать, что {y_n-a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства x_n-а £ y_n-а £ z_n-а. Отсюда следует, что при n³N’ элементы последовательности {y_n-a} удовлетворяют неравенству

|y_n-a| £ max {|x_n-a|, |z_n-a|}.

Так как

и , то для любого e>0 можно указать номера N₁ и N₂ такие, что при n³N₁ |x_n-a|<e, а при n³N₂ |z_n-a|<e. Итак последовательность {y_n-a} бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

ПРИМЕРЫ

1. Последовательность

сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было e>0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число n_e, что n_e> . Поэтому для всех n³n_e, а это означает, что .

2. Последовательность

сходится и , что следует из того, что

, и того, что .

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА № 1

Пусть числовая последовательность а₁, а₂, а₃, … удовлетворяет условию

(m, n = 1, 2, 3, … ),

тогда последовательность

,…

должна либо расходиться к

, причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.

РЕШЕНИЕ:

Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань a конечна. Пусть e>0 и

a+e. Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а₀=0, имеем:

a_n=a_qm+r£a_m+a_m+…+a_m+a_r=qa_m+a_r,

,

ЗАДАЧА № 2

Пусть числовая последовательность а₁, а₂, а₃, … удовлетворяет условию

тогда существует конечный предел

,

причем

(n = 1, 2, 3, … ).

РЕШЕНИЕ:

Из неравенств 2a_m-1<a_2m<2a_m+1 получаем:

(*)

Ряд

сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:

|a₁|+2^-1+2^-2+2^-3+…

запишем целое число n по двоичной системе:

n=2^m+e₁2^m-1+e₂2^m-2+…+e_m (e₁, e₂, …, e_m = 0 или 1)

согласно предположению

.

Применяя теорему (1) для данных:

s₀=0, s₁=

, s_m-1= , s_m= , …, p_n0=0, p_n1= , …, p_{n, m-1}= ,

, p_{n, m+1}=0, …,

заключаем, что

. Наконец, в силу (*) имеем:

.

ЗАДАЧА № 3

Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.

РЕШЕНИЕ:

Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s₁, s₂, …, s_n, … ограничены. Пусть

, , l - целое положительное число, l>2 и .

Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

-¥, m+d, m+2d, …, M-2d, M-d, +¥.

Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |s_n-s_n+1|<d. Пусть, далее, s_n1 (n₁>N) лежит в первом интервале и s_n2 (n₂> n₁) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности

не смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной d. Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».

ЗАДАЧА № 4

Пусть для последовательности t₁, t₂, … , t_n, … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел

…, что для каждого n

.

Тогда числа t₁, t₂, … , t_n, …лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами.

РЕШЕНИЕ:

Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности

, произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу.

ЗАДАЧА № 5

Пусть v₁, v₂, … , v_n, … - положительные числа, v₁ £ v₂ £ v₃ … Совокупность предельных точек последовательности

, …

заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА № 6

Числовая последовательность, стремящаяся к

, имеет наименьший член.

РЕШЕНИЕ:

Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.

ЗАДАЧА № 7

Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.

РЕШЕНИЕ:

При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.

ЗАДАЧА № 8

Пусть l₁, l₂, l₃, … , l_m, … - последовательность положительных чисел и

, тогда существует бесконечно много номеров n, для которых l_n меньше всех предшествующих ему членов последовательности l₁, l₂, l₃, … , l_n-1.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел l₁, l₂, l₃, … , l_m; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть n – наименьший номер, для которого l_n<h. Тогда:

n>m; l_n<l₁, l_n<l₂, …, l_n<l_n-1.

ЗАДАЧА № 9

Пусть l₁, l₂, l₃, … , l_m, … - последовательность положительных чисел и

, тогда существует бесконечно много номеров n, для которых l_n превосходит все следующие за ним члены l_n+1, l_n+2, l_n+3,…

ЗАДАЧА № 10

Пусть числовые последовательности

l₁, l₂, l₃, … , l_m, … (l_m>0),

s₁, s ₂, s ₃, … , s _m, … (s₁>0, s_m+1>s_m, m=1, 2, 3, …)

обладают тем свойством, что

, .