Этьен Безу–
французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.
С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.
Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном ) о том , что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.
Теорема Безу.
Остаток от деления полинома Pn(x)
на двучлен (x-a) равен значению
этого полинома при x = a.
Пусть :
Pn(x) – данный многочлен степени n ,
двучлен (x-a) - его делитель,
Qn-1(x) – частное от деления Pn(x) на x-a (многочлен степени n-1 ) ,
R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).
Доказательство :
Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать :
Pn (x) = (x-a)Qn-1(x) + R .
Отсюда при x = a :
Pn (a) = (a-a)Qn-1 (a) + R =0*Qn-1(a)+R=
=0+R=R .
Значит , R = Pn(a) , т.е. остаток от деления полинома на (x-a) равен значению этого
полинома при x=a , что и требовалось доказать .
Следствия из теоремы .
Следствие 1 :
Остаток от деления полинома Pn(x)
на двучлен ax+b равен значению
этого полинома при x = -b/a ,
т. е. R=Pn (-b/a) .
Доказательство :
Согласно правилу деления многочленов :
Pn (x)= (ax + b)* Qn-1 (x) + R .
При x= -b/a :
Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит , R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.
Следствие 2:
Если число aявляется корнем
многочлена P(x) , то этот
многочлен делится на (x-a) без
остатка .
Доказательство :
По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x) на x-a равен P (a) , а по условию a является корнем P (x) , а это значит , что P (a) = 0, что и требовалось доказать .
Из данного следствия теоремы Безу видно , что задача решения уравнения P (x) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень ( линейных делителей ) .
Следствие 3 :
Если многочлен P (x) имеет
попарно различные корни
a1 , a2 , … , an, то он делится на
произведение (x-a1) … (x-an)
без остатка .
Доказательство :
Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней . При n=1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая , когда число корней равно k , это значит , что P(x) делится без остатка на (x-a1)(x-a2) … (x-ak) , где
a1 , a2 , … , ak - егокорни .
Пусть P(x) имеет k+1 попарно различных корней .По предположению индукции a1 , a2 , ak , … , ak+1 являются корнями многочлена, а , значит, многочлен делится на произедение (x-a1) … (x-ak) , откуда выходит , что
P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x).
При этом ak+1– корень многочлена P(x) , т. е. P(ak+1) = 0 .
Значит , подставляя вместо xak+1 , получаем верное равенство :
P(ak+1) = (ak+1-a1) … (ak+1-ak)Q(ak+1) =
=0 .
Но ak+1 отлично от чисел a1 , … , ak , и потому ни одно из чисел ak+1-a1 , … , ak+1-ak не равно 0 . Следовательно , нулю равно Q(ak+1) , т. е. ak+1 – корень многочлена Q(x) . А из следствия 2 выходит , что Q(x) делится на x-ak+1 без остатка .
Q(x) = (x-ak+1)Q1(x) , и потому
P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =
=(x-a1) … (x-ak)(x-ak+1)Q1(x) .
Это и означает , что P(x) делится на (x-a1) … (x-ak+1) без остатка .
Итак, доказано , что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает , что она верна и при n = k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней , что итребовалось доказать .
Следствие 4 :
Многочлен степени n имеет не более
n различных корней .
Доказательство :
Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен Pn(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a1 , a2 , … , an+k - его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он
бы делился на произведение (x-a1) … (x-an+k) , имеющее степень n+k, что невозможно .
Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более , чем n корней , что и требовалось доказать .
Следствие 5 :
Для любого многочлена P(x)
и числа a разность
(P(x)-P(a)) делится без
остатка на двучлен (x-a) .
Доказательство :
Пусть P(x) – данный многочлен степени n , a - любое число .
Многочлен Pn(x) можно представить в виде : Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+R ,
где Qn-1(x) – многочлен , частное при делении Pn(x) на (x-a) ,
R – остаток от деления Pn(x) на (x-a) .
Причём по теореме Безу :
R = Pn(a) , т.е.
Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+Pn(a) .
Отсюда
Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,
а это и означает делимость без остатка ( Pn(x) – Pn(a) )
на (x-a), что и требовалось доказать .
Следствие 6 :
Число a является корнем
многочлена P(x) степени
не ниже первой тогда и
только тогда , когда
P(x) делится на (x-a)
без остатка .
Доказательство :
Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия .
1.Необходимость .
Пусть a – корень многочлена P(x) , тогда по следствию 2 P(x) делится на (x-a) без остатка .
Таким образом делимость P(x) на (x-a) является необходимым условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) , т.к. является следствием из этого .
2.Достаточность .
Пусть многочлен P(x) делится без остатка на (x-a),
тогда R = 0 , где R – остаток от деления P(x) на (x-a) , но по теореме Безу R = P(a) , откуда выходит , что P(a) = 0 , а это означает , что a является корнем P(x) .
Таким образом делимость P(x) на (x-a) является и достаточным условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) .
Делимость P(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P(x) , что и требовалось доказать .
Следствие 7(авторское):
Многочлен , не имеющийй действи-
тельных корней , в разложении
на множители линейных множителей
не содержит .
Доказательство :
Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P(x) при разложении на множители содержит линейный множитель (x – a):
P(x) = (x – a)Q(x),
тогда бы он делился на (x – a) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P(x) , а по условию он корней не содержит . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен ,