Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений (стр. 3 из 5)

Определение: Корнем

-ой степени из чиста называется такое число, -я степень которого равна .

Согласно данному определению корень

-ой степени из числа – это решение уравнения . Число корней этого уравнения зависит от и . Рассмотрим функцию . Как известно, на промежутке эта функция при любом возрастает и принимает все значения из промежутка . По теореме о корне уравнение для любого имеет неотрицательный корень и при том только один. Его называют арифметическим корнем

-ой степени из числа

и обозначают ; число называют показателем корня, а само число – подкоренным выражением. Знак называют так же радикалом.

Определение:Арифметическим корнем

-ой степени из числа

называют неотрицательное число,

-я степень которого равна .

При четных

функция четна. Отсюда следует, что если , то уравнение , кроме корня , имеет также корень . Если , то корень один: ; если , то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.

При нечетных значениях

функция возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение имеет один корень при любом и, в частности, при . Этот корень для любого значения обозначают .

Для корней нечетной степени справедливо равенство

. В самом деле, , т.е. число – есть корень -й степени из . Но такой корень при нечетном единственный. Следовательно, .

Замечание 1: Для любого действительного

Замечание 2: Удобно считать, что корень первой степени из числа

равен . Корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.

Напомним известные свойства арифметических корней

-ой степени.

Для любого натурального

, целого

и любых неотрицательных целых чисел

и

справедливы равенства:

1.

2.

3.

4.

5.

.