Три знаменитые классические задачи древности (стр. 2 из 3)
Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда
Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед ( II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для черчения этой кривой.
Рис. 4 Рис. 5
Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы», в которой доказывается , что если продолжить хорду
(рис.4) окружности радиуса rна отрезок 
= r и провести через С диаметр 
, то дуга BFбудет втрое меньше дуги АЕ. Действительно на основе теорем о внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника имеем: 
, 
,значит,
Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления на три равные части угла AOE. Описав окружность с центром Oи радиусом
и 
, проводим диаметр 
. Линейку CBна которой нанесена длина 
радиуса r (например, помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её точка Cскользила по продолжению диаметра 
, а сома линейка всё время проходила бы через точку A окружности, пока точка B линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла AOE (Рис.5). Как видно, в этом приёме используется вставка отрезка CB между продолжением диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка CBпрошло через заданную точку Aокружности. В указанном выше построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а линейки с делениями, которая даёт длину определённого отрезка.Вот ещё одно решение задачи о три секции угла при помощи линейки с двумя насечками предложенное Кемпе:
Пусть дан какой – либо угол ABC (Рис. 6); и пусть на лезвии нашей линейки обозначены 2 точки, Pи Q (см. ту же фигуру, внизу)Построение
На одной из сторон угла откладываем от вершины B прямую BA= PQ. Делим ВА пополам в точке М; проводим линии
Рис. 6 и 
.Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре так, чтобы точка Р
линейки лежала на прямой КМ, точка Qлежала бы
на прямой LM, и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через вершину данного угла В. тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая третью часть угла В.
Доказательство
как накрест лежащие. Разделим PQ пополам и середину Nсоединим с М прямой NM. Точка N есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника PQM, а потому PN = NМ, а следовательно, треугольник PNM равнобедренный, и значит 
Внешний же
Вместе с тем
.Значит,
Итак:
(Ч.Т.Д.).
Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и процессом её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на стороны другого. На это может ответить только, что в задачу Евклида и не входило отыскивание некоторой точки по средствам измерения и процесса приспособления линейки. В своих рассуждениях и доказательствах он просто накладывает фигуру на фигуру – и только.
Задача об удвоении куба
Удвоение куба – так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов.
Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должно удовлетворять уравнению
x3 = 2a3, илиx = 
Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2а2, служит отрезок длиной а 
, т.е. диагональ данного квадрата со стороной а. Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а3, т.е. отрезок х, равный
, не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи со следующей легендой.
На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».
Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский, который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два средних пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а, b, т.е. найти х и у, которые удовлетворяли в следующей непрерывной пропорции:
а : х = х : у = у : b(1)
Суть одного механического решения задач об удвоении куба, относящегося к IVв. до н.э. , основано на методе двух средних пропорциональных. Отложим на стороне прямого угла отрезок
=а, где а- длина ребра куба (рис.7), а на другой его стороне – отрезок 
=2а. На продолжениях сторон прямого угла стараемся найти такие точки M иN, чтобы (АМ) и (ВN) были перпендикулярны к (MN); тогда 
(х) и 
(у) будут двумя серединами пропорциональными между отрезками и 
. Для этого устраивается угольник с подвижной линейкой. Линейку располагают так, как показано на рисунке.Имеем:
: = : = : ,или
а : х = х : у = у : 2а.
Отсюда
или
,