Шпаргалка по высшей математике (стр. 3 из 4)
úaxayazú
úbxbybzú.
13 (28). Свойства векторного произведения.
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак на противоположный, сохраняя при этом свой модуль: `а ×`в =(`в) ×`а. 2)Векторн.пр-е обладает сочетательным св-вом относительно числового (скалярного) множителя: l×(`а×`в)=(l`а)×`в=`а×(l×`в). 3)Векторн.пр-е обладает распределительным св-ом. 4) Если векторн.пр-е 2-х векторов равно 0-вектору, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо синус угла между ними, т.е. векторы коллиниарны (параллельны). ÞДля того, чтобы 2 ненулевых вектора были коллиниарны необходимо и достаточно, чтобы их векторное пр-е было равно нуль-вектору.
14 (29). Векторное произведение ортов.
15 (30). Векторное произведение векторов, заданных проекциями.
16 (31). Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Геометрический смысл смешанного произведения.
Рассмотрим произведение векторов а, в и с, составленное следующим образом: (`а *`в) – векторно, а затем полученной произведение умножают на `с скалярно. (`а *`в) ×`с. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным. Оно представляет собой некоторое число. Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. Смешанное произведение равно определителю 3-го порядка, в строках которого стоят соответствующие проекции перемножаемых векторов. 
Свойства: 1)если внутри смешанного произведения в векторном произведении поменять множители местами, то смешанное пр-е поменяет свой знак на противоположный, т.е. (`а *`в) ×`с = - (`в *`а) ×`с; (`а *`в) ×`с = `с × (`а *`в). 2)Для того, чтобы 3 вектора а, в и с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось 0: (`а *`в) ×`с=0. Векторы, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными. Геометрич. смысл смешанного произведения: состоит в том, что смешанное пр-е с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.1 (32). Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.
Положение каждой точки на оси определяется числом, равным отношению длины отрезка прямой от точки 0 до заданной точки к выбранной единице длины. Положение каждой точки на вертикальной оси определяется координатой, которая называется ордината. Координата на горизонтальной оси называется абсцисса. Метод координат на плоскости ставит в соответствие каждой точки плоскости упорядоченную пару действительных чисел – координаты этой точки. Расстояние между 2-мя точками возможно найти 2-мя путями: 1)если обе точки лежат на одной оси, то расстояние между ними по оси ординат (или абсцисс) равно 0, а по оси абсцисс (ординат) абсолютной величине разности между абсциссами конца и начала отрезка +рис.; 2) если 2 точки лежат в одной плоскости, длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат концов отрезков.Деление отрезков в данном отношении: даны 2 точки М1(c1g1)и М2(c2g2). Требуется найти внутри отрезка точку М с координатами (c;g), такую, что отрезок М1М2 поделится точкой М в соотношении М1М/М2М=l. Найти координаты М, удовлетворяющие данному равенству.Решение: М1М/М2М=АА1/АА2. АА1=X-X1, AA2=X2-X. M1M/M2M=(X-X1)/(X2-X) =l. X-X1=l(X2-X), X-X1=lX2-lX. X+lX=X1+lX2ÞX (1+l) =X1+lX2, X=X1+lX2/1+l.
2 (33). Общее уравнение прямой и его исследование.
Рассмотрим ур-е первой степени с двумя переменными в общем виде: Ax+By+C=0, в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е.А2+В2 ¹0. 1)Пусть В¹0. Тогда ур-е Аx+By+C=0 можно записать в виде y= -Ax/B – C/B. Обозначим k= -А/В, b= -C/B. Если А¹0, С¹0, то получим y=kx+b (ур-е прямой, проходящей ч/з начало координат); если А=0, С¹0, то y=b (ур-е прямой, параллельной оси Оy); если А=0, С=0, то y=0 (ур-е оси Оx). 2)Пусть В=0, А¹0. Тогда ур-е Аx+By+C=0 примет вид x= - C/A. Если С¹0, то получим x=a (ур-е прямой, параллельной оси Оy); если С=0, то x=0 (ур-е оси Оy). Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно нулю) и С ур-е Ax+By+C=0 есть ур-е некоторой прямой линии на плоскости Оxy. Это ур-е называется общим ур-ем прямой. Ур-е прямой, заданное в общем виде, не даёт представления о расположении прямой на плоскости, но из него легко находятся все основные хар-ки прямой: 1)k= -A/B; 2)начальная ордината b= - C/B; 3) отрезки, отсекаемые прямой на осях ординат: Ax+By+C=0 /¸(-C)-Ax/C-By/C=1
a= - C/A; b= - C/B.
3 (34). Уравнение прямой, проходящей через точку М (x, y) перпендикулярно нормальному вектору n (A, B).
4 (35). Уравнение прямой, проходящей через точку М (x, y) параллельно направляющему вектору q (l, m).
5 (36). Уравнение прямой, проходящей через две точки М 1(x1, y1) М2 (x2, y2).
Это ур-е является частным случаем ур-я пучка прямых. Прямая задана 2-мя лежащими на ней точками М1 (x1;y1) и M2(x2;y2), x1¹x2, y1¹y2(при равенстве - применение ур-япрямой, проход.ч.з 2 точки, невозможно). Для составления ур-я прямой М1М2 необходимо ур-е пучка прямых, проходящих ч/з точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. точка M2(x2;y2) лежит на данной прямой, то чтобы выделить её из пучка, подставим в ур-е пучка прямых координаты М2 и найдём угловой коэффициент: k=y2-y1/x2-x1.
Теперь ур-е прямой, проходящеё через 2 заданные точки, примет вид: y-y1=(x-x1) *y2-y1/x2-x1Þy-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1.
(др. способ: после ур-я углового коэф-та вывожу: tga=M2*N/M1*N, M2N=y2-y1; M1N=x2-x1Þtga=K=y2-y1/x2-x1. Подставим это ур-е в ур-е пучка прямых: y-y1=(x-x1)*y2-y1/
/x2-x1 |¸( y2-y1)Þ y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1. )6 (37). Уравнение прямой в отрезках.
Прямая задана отрезками, которые она отсекает на осях координат. Найду ур-е прямой по заданным отрезкам а¹0 и b¹0, отсекаемым на осях координат. Используя ур-е прямой, проходящей через точки А(а;0) и В(0;b) - y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1—ур-е прямой в отрезках примет вид:y-0/b-0= x-a/0-aили: -ay= b(x-a), -ay-bx+ab=0 |¸ab; -y/b-x/a+1=0 |¸(-1);x/a+y/b=1. А-отрезок, отсекаемый на оси Оx; В-отрезок на оси Оy. Тогда прямую можно определить как прямую, заданную двумя точкамиÞA(a;b) на осиOx и B(0:b) на оси Oy. Подставив координаты этих точек в ур-е прямой, проходящей через две заданные точки, получим ур-е прямой в отрезках.
7 (38). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Угловой коэффициент прямой- одна из характеристик расположения прямой на плоскости; её наклон относительно оси Оx (за угол наклона принимается Ða, отсчитываемый от оси Оx против движения часовой стрелки до этой прямой); tgугла наклона этой прямой к оси Оx. Если k>0, то a -острый; если a=0, то k=0, прямая параллельна оси Оx; если a=90°, то прямая параллельна оси Оy, k-не существует. Пусть положение прямой в прямоугольной системе координат задано величиной отрезка, отсекаемого этой прямой на оси Оyи k этой прямой. Возьмём произвольную точку М (c;g). Тогда tgугла a наклона прямой найдём из прямоугольного треугольника МВN: tga = MN/NB= y-b/x. Введём угловой коэффициент прямой k=tga; получим k=y-b/x. y=kx+b - ур-е прямой с угловым коэффициентом. В зависимости от величин kи b возможны следующие варианты расположения прямой: 1) при в>0, прямая пересекает ось Оx выше начала координат; при в<0, прямая Ç Оx ниже начала координат. 2)при k>0, прямая образует острый угол с Оx; при k<0,-тупой угол; при k=0-параллельна оси Оx; при k=µ-перпендикулярна Оx.
8 (39). Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (x, y) с данным угловым коэффициентом k.
9 (40). Нормальное уравнение плоскости.
Нормальное ур-е плоскости: x(Cosa) +y(Cosb)+z(Cosg)+r=0, где Cosa, Cosb, Cosg-направляющие Cos–сы нормального вектора; r-расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель.
10 (41). Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
1)Если прямые параллельны, то они образуют с осью OX одинаковые углы. Поэтому угловые коэф-ты k1 и k2 этих прямых равны. Обратно, если k1= k2, то углы наклона прямых к оси OX одинаковы, откуда следует, что данные прямые параллельны. Условием параллельности 2-х прямых яв-ся равенство их угловых коэффициентов. 2)Формула tga=k2-k1/1+k1k2 определяет угол a между пересекающимися прямыми через tga. Если a=90, то эта формула оказывается неприменимой, т.к. tg=90 не существует. Если прямые взаимно перпендикулярны, то j2=j1+90, откуда tgj2= tg (j1+90)= -Сtgj1. tgj2= - 1/ tgj1. Заменяя tgj1 и Сtgj2 через k1 и k2, находим: k2= 1/ k1 или 1+ k1k2=0. Обратно, пусть k2= 1/ k1, это значит, что tgj2= -1/tgj1 откуда получаем j2=j1+90. Следовательно, угол между двумя данными прямыми равен 90, т.е. прямые взаимно перпендикулярны. Условие перпендикулярности 2-х прямых состоит в том, что угловые коэф-ты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку: k2= -1/ k1.