Модели анализа тестирования в образовательном процессе (стр. 2 из 2)
Заметим, что система тестирования, предусматривающая двухбалльную оценку (О или 1) за каждый ответ на задание, может быть описана системой булевых уравнений.
В ряде работ (например [12]) рассматривается возможность сведения задачи решения системы булевых уравнений к системе псевдобулевых неравенств, а также метод решения этих систем. В [12] описывается случай полиномиальной (от размеров системы) сложности реализации этого метода.
При реализации метода может быть использован следующий метод оценки числа решений системы псевдобулевых неравенств. Эта оценка позволяет определить объем ответа при тестировании.
Рассмотрим псевдобулево неравенство
; 
, 
; 
.Минимальным покрытием этого неравенства называется множество
, такое, что 
и для любого
вышеуказанное неравенство не выполняется.Из формулы включения-выключения следует, что число решений псевдобулева неравенства
определяется как 
,где
- множество минимальных покрытий, 
.Рассматривая сумму, определяющую
, можно заметить, что модуль каждого из её слагаемых меньше предыдущего. Таким образом, рассматривая последовательно величины 
получаем последовательность оценок, сходящуюся к точному значению числа решений.
Такой подход может быть распространен и на случай системы псевдобулевых неравенств. Для этого достаточно формально заменить систему минимальных покрытий неравенства на объединение систем минимальных покрытий, входящих в систему неравенств.
Пример. Система псевдобулевых неравенств
эквивалентна булевому уравнению
.Для первого слагаемого формулы, определяющей N , получаем оценку
,для первого и второго
,а на последующих этапах
, 
, 
.Несмотря на весьма большое, как правило, число неравенств в практических задачах и, следовательно, очень большое число минимальных покрытий, уже на первых этапах подсчета возможно получение приемлемых оценок числа решений.
На основании этого можно предложить следующие пути применения предлагаемого подхода:
получать оценки числа решений системы за счет одного-двух слагаемых суммы в формуле для
использовать предварительные оценки каждого неравенства системы с целью отбрасывания наименее информативных, то есть тех, которым удовлетворяет большее число вершин
-мерного единичного куба.Список литературы
А. Рыжкин, Н. Ефремова. Современные измерители знаний (опыт тестирования) // Высшее образование в России. 2001. №1. С.15-24.
Г. Хубаев. О построении шкалы оценок в системах тестирования // Высшее образование в России. 1996. №1. С. 122-125.
М. Панин. Морфология рейтинга // Высшее образование в России. 1998. №1. С.90-94.
В. Наделяев, Т.Мартынова и др. Рейтинговая система оценки знаний при изучении общетехнических дисциплин // Высшее образование в России. 1997. №1. С.103-107.
В. Алчинов, А. Купцов. Рейтинг-контроль успеваемости курсантов // Высшее образование в России. 1998. №1. С.95-97.
А. П. Рыжов. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. М.: Диалог. МГУ, 1998.116 с.
А. Н. Аверкин и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. 312 с.
Ю. Козелецкий. Психологическая теория решений. М.: Прогресс. 1979, 504 с.
Т. С. Уолстен. Использование алгебр. моделей для изучения процессов принятия решений. // Нормативные и дескриптивные модели принятия решений. М.: Наука., 1981. С. 310-319.
А.Tversky, D. Kahneman. Judgement under uncertainty: heuristics and bases. 1974. V. l85. P. H24-Н31.
О. М. Полещук. О применении нечетких множеств в задачах построения уровневых градаций // Лесной вестник. 2000. № 4(13). С. 143-146.
К. К. Рыбников. Методы решения систем булевых уравнений, основанные на погружении множества решений в выпуклый многогранник // Автоматизация и компьютеризация информационной техники и технологии. Научные труды МГУ леса. 1995. Вып. 269. С. 88-91.