Как мы видели, высказывания естественного языка, подлежащие переводу на ЯЛП, определенным образом стандартизируются, четко выделяются части высказывания: классы или отдельные предметы, о которых нечто утверждается (или отрицается). Если это классы, то выясняется, ко всем предметам класса или лишь к части их относится утверждение или отрицание (соответственно употребляются кванторы общности ∀ или существования ∃). И наконец, определяется то, что именно в высказывании утверждается (или отрицается). Примеры таких стандартизации высказываний естественного языка, осуществленные еще до записи их на ЯЛП, читатель может найти в самом начале данного параграфа.
Логика предикатов
Логика предикатов формируется аналогично тому, как это происходит относительно логики высказываний. При наличии определений логических констант — как логики высказываний, так и логики предикатов, — последняя определяется введением понятий логического следования для формул ЯЛП и закона логики предикатов.
Логическое следование
Как и в логике высказываний, мы говорим, что для высказываний A₀ и B₀ (выраженных теперь в описанном языке логики предикатов), имеет место отношение логического следования A₀ ⊨B₀, если и только если оно имеет место для формул А и В1 представляющих собой логические формы указанных высказываний.
Последнее получается из A₀ и B₀ просто отвлечением от имеющихся значений их дескриптивных терминов. При этом, возможно, что A₀ илиB₀ ,а также и то и другое, содержат свободные переменные и трактуются при этом как высказывания с неопределенными истинностными значениями, в которых подразумевается, что каждая свободная переменная имеет какое-то определенное значение (во всех местах, где она встречается в том или ином выводе или доказательстве, или вообще в некотором рассуждении).
Очевидно, что в упомянутых высказываниях со свободными переменными эти переменные имеют условную интерпретацию, которой мы будем придерживаться и в дальнейшем, хотя не исключаем возможность употребления таких высказываний, например в выводах и доказательствах с интерпретацией всеобщности их свободных переменных. Строго говоря, именно условная интерпретация соответствует понятию логического следования. А в случае интерпретации всеобщности при построении выводов и доказательств, требуются особые ограничения.
Отношение следования между формулами A₀ ⊨B₀ имеет место е. т. е. при любой интерпретации дескриптивных терминов в А и В и при любых приписываниях значений свободным переменным при истинности первого истинно и второе, иначе говоря, ложно первое или истинно второе. Имеется в виду при этом, что, во-первых, если некоторый дескриптивный термин каким-то образом интерпретирован в А, то таким же образом он интерпретирован и в В (конечно, при наличии его в этой формуле), а, во-вторых, всем свободным вхождениям одной и той же переменной в А и В приписывается одно и то же значение. Из множества высказываний Г ₀ следует высказывание B ₀если и только если это отношение имеет место соответственно между множеством формул Г и В, представляющих собой логические формы упомянутых высказываний. Последнее же отношение Г ⊨В имеет место, е. т. е. в составе Г имеется конечное подмножество формул А1, ..., Аn (n >= 1) такое, что (А1 & ... & Аn) ⊨В. Последнее соотношение, как и в логике высказываний, равносильно тому, что из множества высказываний А1, ..., Аn следует В, что в свою очередь указывает на отмеченное ранее — в логике высказываний — свойство отношения следования, состоящее в том, что если некоторое высказывание следует из какого-то множества высказываний, то оно является следствием также любого расширения этого множества.
Закон логики предикатов
Формула А описанного языка логики предикатов является законом данной логической системы, то есть (⊨А) е. т. е. при любой ее интерпретации и при любых приписываниях значений ее свободным предметным переменным в заданной области D. Получаемое высказывание является истинным. Законы логики предикатов называются также универсально-общезначимыми формулами логики предикатов.
Формула А называется общезначимой в некоторой области D е. т. е. она истинна при любых приписываниях значений ее дескриптивным терминам и свободным переменным в этой области D. Формула А называется выполнимой, если она истинна при какой-нибудь интерпретации и при каком-нибудь приписывании значений ее свободным предметным переменным. В противном случае она называется невыполнимой.
Поскольку в язык логики предикатов, как это иногда делается, мы не включаем пропозициональные переменные, никакая формула логики высказываний не является формулой логики предикатов. Однако из любого закона логики высказываний получается закон логики предикатов при подстановке вместо пропозициональных переменных любых формул логики предикатов (при замене каждого вхождения какой-нибудь пропозициональной переменной одной и той же формулой логики предикатов; хотя не исключается при этом замена разных пропозициональных переменных одной и той же формулой логики предикатов).
Так же, как и в логике высказываний, здесь введением указанных понятий — законов логики предикатов и логического следования — в сочетании с определениями логических констант задается бесконечное множество случаев отношения логического следования и бесконечное множество законов логики. Однако в отличие от логики высказываний мы не имеем теперь общих процедур для решения вопросов о том, имеет ли место отношение логического следования между множеством формул Г и формулой В (или между двумя формулами А и В) и является ли некоторая формула А законом логики. Эта специфика логики предикатов характеризуется как неразрешимость этой теории относительно универсальной общезначимости формул. Эта ограниченность наших возможностей здесь является платой за отказ от принимаемых в логике высказываний абстракций относительно структур некоторых высказываний.
Как и в логике высказываний, мы имеем здесь связь между отношением следования и законами логики. Она позволяет сводить вопрос о наличии или отсутствии отношения следования для конечных множеств формул к вопросу о том, является ли некоторая формула универсально общезначимой. Имеется в виду связь
А1, .... Аn ⊨В е. т. е. ⊨ (А1 ⊃ (А2⊃ (А2 ⊃ ... (Аn⊃В) ...));
последняя же, как мы видели раньше, равносильна ⊨ ((А1 &А2 & ... &An) ⊃В) — при любой расстановке скобок в конъюнкции согласно правилам построения формул.
В связи с отмеченной неразрешимостью логики предикатов особое значение приобретает здесь формализация понятий следования и закона логики посредством построения логических исчислений. Именно исчисление дает возможность во многих случаях синтаксическим образом решать вопрос, является ли некоторая формула законом, или соответственно есть ли некоторое отношение следования, когда мы не можем решить этот вопрос посредством семантического анализа. Для логики высказываний исчисление высказываний, вообще говоря, не является необходимым. Оно скорее нужно как часть логического исчисления для формул ЯЛП.
Исчисление предикатов
В основе исчисления предикатов лежит язык логики предикатов. В остальном оно является расширением исчисления высказываний.
Аксиоматическую систему исчисления предикатов мы получим, добавив к перечисленным выше схемам аксиоматического исчисления высказываний (имея в виду, конечно, переход к языку логики предикатов) следующие четыре схемы и одно правило:
1. ∀x A(x) ⊃ A(t) —схема∀и .
2. A(t)⊃∃х А(х) — схема ∃в.
3. ∀x(В⊃С(х))⊃(В⊃∀xС(х)) схема введения ∀ в консеквент .
4. ∀x(С(х)⊃В) ⊃ (∃x⊃C(x)⊃ В) — схема введения ∃ в антецедент.
A(t) — результат правильной подстановки терма ( вместо х в А(х); В — не содержит х свободно.
Правило ∀в (правило введения квантора общности, иное
A(t) название: правило обобщения): —— (из А непосредственно выводимо∀xA).
Формально мы сохраняем прежнее определение вывода и доказательства (ясно, что, по существу, изменение состоит в том, что теперь могут использоваться новые аксиомы и новое правило), однако, если мы хотим, чтобы отношение формальной выводимости было аналогом семантического понятия следования, необходимо ограничить применение ∀в : оно может применяться к некоторой формуле А(х) для обобщения лишь по таким переменным х, которые не содержатся свободно в допущениях, от которых зависит эта формула. Чтобы смысл этого ограничения был ясным, мы должны определить понятие зависимости некоторой формулы вывода от допущений (гипотез). Везде в дальнейшем будем иметь в виду выводы с анализом (то есть обоснованием каждого его шага ссылками либо на принадлежность формулы этого шага к множеству взятых гипотез или аксиом системы, либо на формулы, из которых она получатся, и используемые при этом правила).
Формула В данного вывода зависит от некоторого допущения А, если и только если: а) она есть само допущение А;
б) получается из некоторых формул по правилам системы (из С⊃В и С по m. р. или из С по ∀в), какая-нибудь из которых зависит от А. Более простым образом понятие зависимости разъясняется в описываемой далее системе натурального вывода, значительно проще осуществляются там сами выводы и доказательства.
Натуральная система исчисления предикатов